几何分布数学期望的两种简便计算方法
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【关键词】几何分布； 数学期望； 无记忆性 【基金项目 】南 京 林 业 大 学 大 学 生 创 新 训 练 计 划 项 目 （ 2018NFUSPITP285） ； 2018 年校级“教学质量提升工程”项 目（ 163101813） ．
几何分布（ geometric distribution） 是一个重要的离散型
= （ 1 － θ） ［E（ γ） + 1］ + θ·1
= （ 1 － θ） E（ γ） + 1．
由几何分布的无记忆性知，γ = ξ － 1 依然服从 G（ θ） ，它
们有相同的数学期望，从而，E（ ξ） = E（ γ） ． 据此可得，θ·
E（ ξ）
= 1，即 E（ ξ）
=
1． θ
【参考文献】 ［1］吴秀才． 对概率论中“数学期望”概念的教学思考 ［J］． 数学学习与研究，2017（ 7） ： 18 － 19． ［2］毛晓峰． 关于几何分布的数学期望［J］． 数学教学研 究，2015（ 10） ： 56 － 57． ［3］王新利，陈光曙． 几何分布和负二项分布高阶矩的 递推公式［J］． 高等数学研究，2011（ 2） ： 15 － 16 + 28． ［4］姜玉英，刘强． 离散型随机变量数学期望的几种巧 妙算法［J］． 大学数学，2008（ 5） ： 153 － 154．
下次试验成功所需要的试验次数依然都服从参数相同的几
何分布．
二、数学期望的两种简便计算方法
（ 一） 引理 2
设 ξ 为离散型随机变量，取值范围为｛ 1，2，…｝ ，则
∞
E（ ξ） = ∑P｛ ξ ≥ n｝ ． n =1
∞
∑ 证
P｛ ξ ≥ n｝ = P｛ ξ = 1｝ + 2P｛ ξ = 2｝ + 3P｛ ξ =
0） = E（ γ + 1） = E（ γ） + 1．
当 η = 1 时，试验进行一次即停止，ξ = 1，故 E（ ξ | η =
1） = 1． 由全期望公式（ law of total expectation） 得
E（ ξ） = E［E（ ξ | η） ］
= P｛ η = 0｝ E（ ξ | η = 0） + P｛ η = 1｝ E（ ξ | η = 1）
n =1
∞
∑ 3｝ + … = nP｛ ξ = n｝ = E（ ξ） ． n =1
（ 二） 两种计算方法
方法 Ⅰ （ 基于引理 2） 设 ξ ～ G（ θ） ，则由引理 2 和结
论 1，易得
∑ ∑ E（ ξ）
=
∞
P｛ ξ ≥ n｝
=
∞ （ 1 － θ） n－1 =百度文库1 ．
n =1
n =1
θ
方法 Ⅱ （ 基于无记忆性） 设 ξ ～ G（ θ） ． 因为每次试验
概率分布，其概率模型可描述如下： 在独立的 Bernoulli 试验
中，若所考虑事件 首 次 出 现，则 试 验 停 止，此 时 所 进 行 的 试
验总数服从几何 分 布，事 件 发 生 的 概 率 即 为 几 何 分 布 的 参
数． 常规几何分布数学期望的计算涉及级数求和与逐项求
导等方法，技巧性高，计算较为烦琐． 一些学者研究过这类 问题［1 － 4］，本文利用一个引理和几何分布的无记忆性给出
证 由几何分布定义和结论 1，得
P｛ ξ = m + k | ξ ＞ k｝
=
P｛ ξ
= m + k，ξ P｛ ξ ＞ k｝
＞
k｝
=
P｛ ξ = P｛ ξ
m ＞
+ k｝ k｝
=
θ·（
1 （
－ 1
θ） m+k－1 － θ） k
= θ·（ 1 － θ） m－1
= p｛ ξ = m｝ ．
无记忆性说明，无论从哪一次试验成功后开始计数，到
了两个计算几何分布数学期望的简便方法．
一、几何分布
（ 一） 几何分布的定义
若随机变量 ξ 的分布律为 P｛ ξ = k｝ = θ·（ 1 － θ） k－1 ，k = 1，2，3，…，
其中 0 ＜ θ ＜ 1 是常数，则称 ξ 服从参数为 θ 的几何分
布，记为 ξ ～ G（ θ） ．
结论 1 若 ξ ～ G（ θ） ，则 P｛ ξ ≥ n + 1｝ = P｛ ξ ＞ n｝ = （ 1 － θ） n．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
17
几何分布数学期望的两种简便计算方法
◎李文辉 朱德刚* ! 花永健 （ 南京林业大学应用数学系，江苏 南京 210037）
【摘要】几何分布数学期望的常规计算方法涉及级数求 和与逐项求导等方法，技巧性强，计算烦琐． 本文利用一个 引理和几何分布的无记忆性，给出了两个简便的计算方法．
结果只有 两 种 可 能，针 对 首 次 试 验 的 结 果，若 首 次 试 验 失
败，则令 η = 0； 若首次试验成功，则令 η = 1． 显然，根据几
何分布的定义知，P｛ η = 0｝ = 1 － θ，P｛ η = 1｝ = θ．
若 η = 0 时，则 ξ ＞ 1，令 γ = ξ － 1，此时，有 E（ ξ | η =
证 由几何分布定义，易得
∞
∑ P｛ ξ ≥ n + 1｝ = P｛ ξ ＞ n｝ = θ·（ 1 － θ） k－1 = （ 1 － θ） n． k = n +1
（ 二） 引理 1（ 几何分布的无记忆性）
若 ξ ～ G（ θ） ，则对任意整数 m ＞ 0，有
P｛ ξ = m + k | ξ ＞ k｝ = P｛ ξ = m｝ ，k = 1，2，3，…．
数学学习与研究 2019. 7
几何分布（ geometric distribution） 是一个重要的离散型
= （ 1 － θ） ［E（ γ） + 1］ + θ·1
= （ 1 － θ） E（ γ） + 1．
由几何分布的无记忆性知，γ = ξ － 1 依然服从 G（ θ） ，它
们有相同的数学期望，从而，E（ ξ） = E（ γ） ． 据此可得，θ·
E（ ξ）
= 1，即 E（ ξ）
=
1． θ
【参考文献】 ［1］吴秀才． 对概率论中“数学期望”概念的教学思考 ［J］． 数学学习与研究，2017（ 7） ： 18 － 19． ［2］毛晓峰． 关于几何分布的数学期望［J］． 数学教学研 究，2015（ 10） ： 56 － 57． ［3］王新利，陈光曙． 几何分布和负二项分布高阶矩的 递推公式［J］． 高等数学研究，2011（ 2） ： 15 － 16 + 28． ［4］姜玉英，刘强． 离散型随机变量数学期望的几种巧 妙算法［J］． 大学数学，2008（ 5） ： 153 － 154．
下次试验成功所需要的试验次数依然都服从参数相同的几
何分布．
二、数学期望的两种简便计算方法
（ 一） 引理 2
设 ξ 为离散型随机变量，取值范围为｛ 1，2，…｝ ，则
∞
E（ ξ） = ∑P｛ ξ ≥ n｝ ． n =1
∞
∑ 证
P｛ ξ ≥ n｝ = P｛ ξ = 1｝ + 2P｛ ξ = 2｝ + 3P｛ ξ =
0） = E（ γ + 1） = E（ γ） + 1．
当 η = 1 时，试验进行一次即停止，ξ = 1，故 E（ ξ | η =
1） = 1． 由全期望公式（ law of total expectation） 得
E（ ξ） = E［E（ ξ | η） ］
= P｛ η = 0｝ E（ ξ | η = 0） + P｛ η = 1｝ E（ ξ | η = 1）
n =1
∞
∑ 3｝ + … = nP｛ ξ = n｝ = E（ ξ） ． n =1
（ 二） 两种计算方法
方法 Ⅰ （ 基于引理 2） 设 ξ ～ G（ θ） ，则由引理 2 和结
论 1，易得
∑ ∑ E（ ξ）
=
∞
P｛ ξ ≥ n｝
=
∞ （ 1 － θ） n－1 =百度文库1 ．
n =1
n =1
θ
方法 Ⅱ （ 基于无记忆性） 设 ξ ～ G（ θ） ． 因为每次试验
概率分布，其概率模型可描述如下： 在独立的 Bernoulli 试验
中，若所考虑事件 首 次 出 现，则 试 验 停 止，此 时 所 进 行 的 试
验总数服从几何 分 布，事 件 发 生 的 概 率 即 为 几 何 分 布 的 参
数． 常规几何分布数学期望的计算涉及级数求和与逐项求
导等方法，技巧性高，计算较为烦琐． 一些学者研究过这类 问题［1 － 4］，本文利用一个引理和几何分布的无记忆性给出
证 由几何分布定义和结论 1，得
P｛ ξ = m + k | ξ ＞ k｝
=
P｛ ξ
= m + k，ξ P｛ ξ ＞ k｝
＞
k｝
=
P｛ ξ = P｛ ξ
m ＞
+ k｝ k｝
=
θ·（
1 （
－ 1
θ） m+k－1 － θ） k
= θ·（ 1 － θ） m－1
= p｛ ξ = m｝ ．
无记忆性说明，无论从哪一次试验成功后开始计数，到
了两个计算几何分布数学期望的简便方法．
一、几何分布
（ 一） 几何分布的定义
若随机变量 ξ 的分布律为 P｛ ξ = k｝ = θ·（ 1 － θ） k－1 ，k = 1，2，3，…，
其中 0 ＜ θ ＜ 1 是常数，则称 ξ 服从参数为 θ 的几何分
布，记为 ξ ～ G（ θ） ．
结论 1 若 ξ ～ G（ θ） ，则 P｛ ξ ≥ n + 1｝ = P｛ ξ ＞ n｝ = （ 1 － θ） n．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
17
几何分布数学期望的两种简便计算方法
◎李文辉 朱德刚* ! 花永健 （ 南京林业大学应用数学系，江苏 南京 210037）
【摘要】几何分布数学期望的常规计算方法涉及级数求 和与逐项求导等方法，技巧性强，计算烦琐． 本文利用一个 引理和几何分布的无记忆性，给出了两个简便的计算方法．
结果只有 两 种 可 能，针 对 首 次 试 验 的 结 果，若 首 次 试 验 失
败，则令 η = 0； 若首次试验成功，则令 η = 1． 显然，根据几
何分布的定义知，P｛ η = 0｝ = 1 － θ，P｛ η = 1｝ = θ．
若 η = 0 时，则 ξ ＞ 1，令 γ = ξ － 1，此时，有 E（ ξ | η =
证 由几何分布定义，易得
∞
∑ P｛ ξ ≥ n + 1｝ = P｛ ξ ＞ n｝ = θ·（ 1 － θ） k－1 = （ 1 － θ） n． k = n +1
（ 二） 引理 1（ 几何分布的无记忆性）
若 ξ ～ G（ θ） ，则对任意整数 m ＞ 0，有
P｛ ξ = m + k | ξ ＞ k｝ = P｛ ξ = m｝ ，k = 1，2，3，…．
数学学习与研究 2019. 7