对一道西部数学竞赛试题的深入研究
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＋Ｙ＋ｚ 系数不是 负数． 的 继续探究， 将等号成
立的条件改为 ＝ ＝ ＝ 。 ， 有
＝
］ Ｉ
、 １ ） ／（一 ＋、 １ ） 去＋ ／ （一 ＋￣ｙｉ ） ／（一 ≤ ／ ／
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＋ ＝ ｘ≤，（ ｍ＿ｊ Ｖ ＋ Ｚ 求ｙ 最 值 互３ 三 ｙ 即Ｙ ａ＝等 ／ 十 －：Ｖ，ｘ的 ． ＝ 百 ｘ＿ 、 ＝ ｂ ｚ 大 ‘ ｘ １ ｙ ＝， ～ ＝ 阳 但 百 － 百 号成立 当且仅当 ： Ｙ＝ｚ＝ ．
等式右 边的常数之间的联系．
且等号成立的条件是Ｘ＝Ｙ ＝言 满足已知 ＝ ，
等式． 但对于问题 １ 显然不能直接利用基本不等
式， 因为当 ＝Ｙ＝ ＝ 时不能满足 已知等式． ２ ．问题的进一步讨论 基于 以上 问题 １ ２ 、 的研究， 我们能否继续 改变等号成立 的条 件， 能否将 等号成立条 件 即
７２ －０
数 学教 学
２ １年第 ７ ０１ 期
成 的 件 昙 上 变 得 立 条 是＝＝＝， 式 形 将
娑 ． ：／（ ５ Ｖｘ－ｘ —５ ） ３—
两
≤
＝ 一
求 ｘｚ ｙ 的最大值． 分 析： 采用完全类似 的方法， 首先 由于 已知
等式 的对称性 易知当 Ｘ＝ Ｙ＝ Ｚ＝ 时 已知等
然有矛盾， 问题出在 里堡！ 不 、＿．６ ￣ ／・ ￣ － ｆ
、而 ． ／ ， ＋３
・ ３
≤
≤ 兰
＝
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３
，
中等号成立的条件是
问 设 、 、 ∈（ １ 满足 、 Ｙ ＋ 题１ Ｙ ｚ ０ ） ，， ／ Ｖ
ｖＸ１ ） ／（—Ｙ ＋、 （一 ） ／（一 ＋ｘＹＩ ） ／ １ ／
≤ ＋ ＋ ： 互 ＝ ， ＝
１ １ １ ３
、 ＋／ ：， 的 大 ． ／ 、 ２ ｚ最 值 求
、
问 ４设 Ｅ ， 满 、 ＋ 题 双 、 （） 足／ ０， １
＝
显然上述求解过程 比问题 １ 来得简单． 其原
解：将 已知等 式变形 为 、６・ ／ ／
因在于代数式
、ｚ１ ） 、 （一 ＋ ／（一 ） ／ （一 ＋ ／ １ ） 、 １ ，由于等号 ／ ／ ／
取得最大值． 能否将等号成立的“ ” 改为其他值 ｔ ． Ｐ
呢？笔者经过研 究得到如下的：
、 １ ， ／ （一 ）由于等号成立的条件是 ＝Ｙ ＝ ／ ＝
、 Ｊ ｙ ＝ｖ２ １ ） ／ ｘ ３ — ｘ 问 设 、 、 ０１ 满足、 Ｙ ＋ 言 将上式变形得 ６／ ・ — ｚ ／ （一Ｘ ＋ 题２ Ｙ Ｅ（ ） ， ， Ｖ 石 ， ／
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１ ５
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（ －．２ １ Ｘ ） ２ ￣－１
而 詈， ＝蔷， 当＝＝＝时 （ ）显
解： 采用与文 ［、【 类似的解法． １ ２ 】 ］ 由已知等 式得 ３／ ・／ ＝ ｖｘ１ ） ／（ —Ｙ ＋ 、６ 、 ／ ／（ 一 ＋ＶＹＩ ）
１ 易验证 当 ＝ Ｙ＝ ＝ ５时等号成立， 容 － 且
‘ ±
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， ｙ最值 求 ｚ 大・ 的
＋ｖ ｚ － ｚ ／ （— ） —５ ５． ３
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式成立． 原等式变形 为： 将
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上式中利用基本不等式有 Ｘ／ ・ ｌ、而 ，
＋
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ｌ ， ￣． Ｓ／ Ｔ
ｂ
应用基本不等式有
＋３
≤ １ ５
文 ［、［ 均给出问题１ １ ２ ］ ］ 的初等解答， 所用的
方法是 ： 利用二元均值不等式， ① 但需要 “ 系 凑” 数； 利用柯西不等式， ② 并注意等号成立 的条件． 其实这两种解法都需要“ 的能力， 凑” 也许这也在 问题 １ 的考 查范 围吧．在 阅读 以上文献的同时， 笔者也在思索本题的命题， 引起笔者思考 的主要 问题是 ｘ ｚ ｙ 取得最值时， 等号成立的条件与 已知
ｒ： — — —— 一 ｒ： —— — — 一
√石 ＋／ ： ，ｘ 的 大 ． 有 ． Ｖ 、 Ｖ ３ ＞ｙ 最 值 Ｙｚ ￣ ６
解： 将 已知 等 式 去 分 母 得 Ｖｘ１ ）＋ ／（ 一Ｘ
ｘ２（－ ） ／２１ Ｚ． ／ｙ１ Ｙ＋、２（－ ）上式利用基本不等式 ／
２ １年第 ７ ０１ 期
数 学教学
一９ ｌ
对一道西部数学竞赛试题的深入研究
２１ ０ 上海市松江二中 卫福山 ００ ６
２０ 年 中国西部数学奥林 匹克竞赛试题第 ０８
６ 为： 题
ｖｘ１ ） ／（ 一Ｙ 十ｖｚ１ ） ／（ 一ｚ ＋ＶＹ１ ） ／（ 一
可以直接利用基本不等式得到
的“ ” 改为其他值呢？ 如假设等号成立 的条件 ｔ ． Ｊ
是 ＝ ＝ ＝ ， 有
—
１ 原问题等号成立条件的研究 Ｉ 如果等式关 于字母 、 具有对 称性， 、Ｙ 一
般来说 等号成立 的条件是 Ｘ＝ Ｙ＝ 对于问题 ，
问 ３设、 （ ） 足／ ＋ 题 Ｙ Ｅ ， 满 、 、 ０， ／ １
≤ 半
＋
＋
ｖｙＩ ） ＇（ 一 ＝３／ ・， ． ／（ —Ｙ ＋ｖｚ１ ） 、２ 、 ／
注意到 当ｚ ＝Ｙ ＝Ｚ 代入 以上等式得 ＝ 时， Ｙ ＝ ＝ ， 于是 由基本 不等式得 ３／ 、２・ ／
一 ． — — 一 一 一 一 — — 一
２ 半２ ＋． 原因主要是 无最大值． 。 ２ 兰 此 时从上式易知ｘ ｚ ｙ
＋Ｙ＋ｚ 系数不是 负数． 的 继续探究， 将等号成
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、 １ ） ／（一 ＋、 １ ） 去＋ ／ （一 ＋￣ｙｉ ） ／（一 ≤ ／ ／
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＋ ＝ ｘ≤，（ ｍ＿ｊ Ｖ ＋ Ｚ 求ｙ 最 值 互３ 三 ｙ 即Ｙ ａ＝等 ／ 十 －：Ｖ，ｘ的 ． ＝ 百 ｘ＿ 、 ＝ ｂ ｚ 大 ‘ ｘ １ ｙ ＝， ～ ＝ 阳 但 百 － 百 号成立 当且仅当 ： Ｙ＝ｚ＝ ．
等式右 边的常数之间的联系．
且等号成立的条件是Ｘ＝Ｙ ＝言 满足已知 ＝ ，
等式． 但对于问题 １ 显然不能直接利用基本不等
式， 因为当 ＝Ｙ＝ ＝ 时不能满足 已知等式． ２ ．问题的进一步讨论 基于 以上 问题 １ ２ 、 的研究， 我们能否继续 改变等号成立 的条 件， 能否将 等号成立条 件 即
７２ －０
数 学教 学
２ １年第 ７ ０１ 期
成 的 件 昙 上 变 得 立 条 是＝＝＝， 式 形 将
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等式 的对称性 易知当 Ｘ＝ Ｙ＝ Ｚ＝ 时 已知等
然有矛盾， 问题出在 里堡！ 不 、＿．６ ￣ ／・ ￣ － ｆ
、而 ． ／ ， ＋３
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≤
≤ 兰
＝
≤
３
，
中等号成立的条件是
问 设 、 、 ∈（ １ 满足 、 Ｙ ＋ 题１ Ｙ ｚ ０ ） ，， ／ Ｖ
ｖＸ１ ） ／（—Ｙ ＋、 （一 ） ／（一 ＋ｘＹＩ ） ／ １ ／
≤ ＋ ＋ ： 互 ＝ ， ＝
１ １ １ ３
、 ＋／ ：， 的 大 ． ／ 、 ２ ｚ最 值 求
、
问 ４设 Ｅ ， 满 、 ＋ 题 双 、 （） 足／ ０， １
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显然上述求解过程 比问题 １ 来得简单． 其原
解：将 已知等 式变形 为 、６・ ／ ／
因在于代数式
、ｚ１ ） 、 （一 ＋ ／（一 ） ／ （一 ＋ ／ １ ） 、 １ ，由于等号 ／ ／ ／
取得最大值． 能否将等号成立的“ ” 改为其他值 ｔ ． Ｐ
呢？笔者经过研 究得到如下的：
、 １ ， ／ （一 ）由于等号成立的条件是 ＝Ｙ ＝ ／ ＝
、 Ｊ ｙ ＝ｖ２ １ ） ／ ｘ ３ — ｘ 问 设 、 、 ０１ 满足、 Ｙ ＋ 言 将上式变形得 ６／ ・ — ｚ ／ （一Ｘ ＋ 题２ Ｙ Ｅ（ ） ， ， Ｖ 石 ， ／
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１ ５
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而 詈， ＝蔷， 当＝＝＝时 （ ）显
解： 采用与文 ［、【 类似的解法． １ ２ 】 ］ 由已知等 式得 ３／ ・／ ＝ ｖｘ１ ） ／（ —Ｙ ＋ 、６ 、 ／ ／（ 一 ＋ＶＹＩ ）
１ 易验证 当 ＝ Ｙ＝ ＝ ５时等号成立， 容 － 且
‘ ±
、 ＋ ／ ＼ ／ ／
， ｙ最值 求 ｚ 大・ 的
＋ｖ ｚ － ｚ ／ （— ） —５ ５． ３
＋ ＋
式成立． 原等式变形 为： 将
３ ． ： ＋
上式中利用基本不等式有 Ｘ／ ・ ｌ、而 ，
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ｌ ， ￣． Ｓ／ Ｔ
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＋３
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文 ［、［ 均给出问题１ １ ２ ］ ］ 的初等解答， 所用的
方法是 ： 利用二元均值不等式， ① 但需要 “ 系 凑” 数； 利用柯西不等式， ② 并注意等号成立 的条件． 其实这两种解法都需要“ 的能力， 凑” 也许这也在 问题 １ 的考 查范 围吧．在 阅读 以上文献的同时， 笔者也在思索本题的命题， 引起笔者思考 的主要 问题是 ｘ ｚ ｙ 取得最值时， 等号成立的条件与 已知
ｒ： — — —— 一 ｒ： —— — — 一
√石 ＋／ ： ，ｘ 的 大 ． 有 ． Ｖ 、 Ｖ ３ ＞ｙ 最 值 Ｙｚ ￣ ６
解： 将 已知 等 式 去 分 母 得 Ｖｘ１ ）＋ ／（ 一Ｘ
ｘ２（－ ） ／２１ Ｚ． ／ｙ１ Ｙ＋、２（－ ）上式利用基本不等式 ／
２ １年第 ７ ０１ 期
数 学教学
一９ ｌ
对一道西部数学竞赛试题的深入研究
２１ ０ 上海市松江二中 卫福山 ００ ６
２０ 年 中国西部数学奥林 匹克竞赛试题第 ０８
６ 为： 题
ｖｘ１ ） ／（ 一Ｙ 十ｖｚ１ ） ／（ 一ｚ ＋ＶＹ１ ） ／（ 一
可以直接利用基本不等式得到
的“ ” 改为其他值呢？ 如假设等号成立 的条件 ｔ ． Ｊ
是 ＝ ＝ ＝ ， 有
—
１ 原问题等号成立条件的研究 Ｉ 如果等式关 于字母 、 具有对 称性， 、Ｙ 一
般来说 等号成立 的条件是 Ｘ＝ Ｙ＝ 对于问题 ，
问 ３设、 （ ） 足／ ＋ 题 Ｙ Ｅ ， 满 、 、 ０， ／ １
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＋
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注意到 当ｚ ＝Ｙ ＝Ｚ 代入 以上等式得 ＝ 时， Ｙ ＝ ＝ ， 于是 由基本 不等式得 ３／ 、２・ ／
一 ． — — 一 一 一 一 — — 一
２ 半２ ＋． 原因主要是 无最大值． 。 ２ 兰 此 时从上式易知ｘ ｚ ｙ