卢公开课§3.3.2简单的线性规划

§3.3.2简单的线性规划问题
授课班级：高一（24）授课时间：2014年4月11日下午第二节授课类型：新授课授课人：卢凤龙
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；
2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】
用图解法解决简单的线性规划问题
【教学难点】
准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
I.课题导入
一、复习
1.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法（“线定界、点定域”）
2.二元一次不等式组表示的平面区域（各个不等式所表示的平面区域的公共部分）
二、引入：
在实际应用中，经常会遇到：“如何安排生产，才能使利润最大”或“怎样设计，才能使安排最合理？”等等的问题。

如：两个正数满足条件求的最大值。

条件式是等式，我们只需要消
+==
,21,
x y x y z xy
去y或x，就可以转化为一元函数的最值问题。

但如果条件是不等式(组)，则无法通过消元的方法达成消元的目的，这时就需要另想办法来解决这个问题，这就是我们本节课要学习的方法：线性规划
II.讲授新课
一、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知
条件可得二元一次不等式组：
2841641200
x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪
≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ （1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：
当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
把z=2x+3y 变形为233z y x =-
+，这是斜率为23
-，在y 轴上的截距为3z
的直线。

当z
变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给
定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833
y x =-+），这说明，截距3z
可
以由平面内的一个点的坐标唯一确定。

可以看到，直线233
z
y x =-+与不等式组（1）的区
域的交点满足不等式组（1），而且当截距3
z
最大时，z 取得最大值。

因此，问题可以转化
为当直线233
z
y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，
使直线经过点P 时截距3
z
最大。

（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现233
z
y x =-+经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距
3z 的值最大，最大值为14
3
，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

二、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
三、变换条件，加深理解
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
实际上就是：在线性约束条件（1）下，求利润z =x +3y 的最大值.
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：求出目标函数的最大值或最小值作出答案。

III ．随堂练习
1．请同学们结合课本P 91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线
23311
max z =+⨯=
l :2x +y =t ,t ∈R.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.
所以z m ax =2×2-1=3. 变式：（1）求z 的最小值；
（2）求w=2x -y 的最大值。

（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≥⎩
解：不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点 （-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经
过点（8
17,89）的直线所对应的t 最大.
所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.
z m ax =3×
89+5×8
17=14 IV.课时小结
本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的
最值问题；
正确列出变量的不等关系式,准确作出可行域是解决目标函数最值的关健；
线性目标函数的最值一般都是在可行域的顶点或边界取得；
把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.
V. 作业
课本第93页习题[A]组的第2题.。