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求一阶微分方程积分因子的一些方法
付开祥 指导老师：李拓
（河西学院数学与统计学统计学院 甘肃张掖 734000）
摘 要 本文给出了求一阶微分方程积分因子的一些方法，从而解决了求某些一阶微分方程通解的
问题．对一些特殊类型的方程分别给出了求积分因子的特殊方法，并给出实例说明用积分法求解微分方程的具体方法．
关键词 恰当方程；积分因子；分组组合法；比较系数法；待定系数法．中图分类号 H007.1
For first order differential equation of integral factor some methods
Abstract : This article gives a new definition of complex integrating factor about first order ordinary
differential equation and a new existence theorem of a type of integral factor and calculation formual, and the resuct in this paper amplifies the conclusions in the relevant reference ．
Key words:Properly equation ；Integral factor ；Group group legal ；More coefficient method ；Undetermined coefficient method ．
1 引言
对于一个恰当微分方程可以通过积分的方法求出它的通解，而一个非恰当微分方程是不能通过积分求解的，因此能否将一个非恰当常微分方程转化为一个恰当微分方程就有很大意义．1,2,3 给出了积分因子的定义和求法．
定义1 我们可以将一阶方程
=f(x,y)dy
dx
写成微分方程的形式
(1)
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=如果方程(1)左端恰好是某个二元函数的全微分，(,)u x y 即
(,)(,),M x y dx N x y dy du x y
u u
dx dy
x y
+=∂∂=+∂∂（） 则称该方程为恰当微分方程．
定义2 如果存在连续可微的函数，使得
(,)0x y μμ=≠
(,)(,)(,)(,)0
x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当微分方程，则称为方程的积分因子．
(,)x y μ(,)(,)0M x y dx N x y dy +=引理 方程(1)有只与x 有关的积分因子的充要条件是
[]1
1，1()()M N x N y x
ϕ∂∂-=∂∂且积分因子为．
()x dx
e ϕμ⎰
=引理 方程(1)有只与y 有关的积分因子的充要条件是
[]22，1(()M N y M y x
ϕ∂∂-
-=∂∂且积分因子为．
()y dy
e ϕμ⎰
=本文将给出求一阶微分方程积分因子的另外一些方法，从而使解决求某些非恰当微
分方程通解的问题简单化．
2 主要结论及其证明
定理 若方程性有两个积分因子和 ，且
[][]12
1(,)(,)0M x y dx N x y dy +=()1,x y μ()2,x y μ不恒等于常数，则该方程的通解为= （c 任意常数）．
()
()
12,,x y x y μμ()()12,,x y c x y μμ= 证明 是方程的积分因子，故可求得可微函数
()1,x y μ(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，使得
(,)u x y ()12,du x y Mdx Ndy
μμ=+则 是方程的解．
(,)u x y =1c (,)(,)0M x y dx N x y dy +=根据结论，我们得到
()
21u u u ϕ=这里是的可微函数．
()u ϕu 由上式可得
，()2
1
u u u ϕ=即
121u u u ϕ-⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
由于我们已经知道 是方程的解．
(,)u x y 1c =故
1211u c u ϕ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
也是方程的解．变形上式后，
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，()2
11
u c c u ϕ==这就证明了
是方程2
1
u c u =(,)(,)0
M x y dx N x y dy +=通解．
定理 方程 具有形如 的积分因子的充要条
[][]34
2(,)(,)0M x y dx N x y dy +=()x y μ+件是 ．
()M N
y x
f x y N M
∂∂-∂∂=+-证明 必要性 若方程有形如的积分因子，则
()x y μμ=+0
Mdx Ndy μμ+=是恰当微分方程．从而
()()
M N y x
μμ∂∂=∂∂令，则 ,
t x y =+()()x y t μμ+=所以
变形为()()
M N y x
μμ∂∂=
∂∂d M d N M N dt y dt x
μμμμ∂∂+=+∂∂
()()d M N M N dt y x
μ∂∂-=--∂∂即
M N y x d dt
N M
μ∂∂-∂∂=-因此
．()M N
y x
f x y N M
∂∂-∂∂=+-充分性 显然成立．
所以，当
时，可以求出，所以方程具有形为()M N
y x
f x y N M
∂∂-∂∂=+-μ0Mdx Ndy +=的积分因子的充要条件为
()x y μ+．
()M N
y x
f x y N M
∂∂-∂∂=+-定理 方程 具有形如 的积分因子的充要条件
[][]23
3(,)(,)0M x y dx N x y dy +=()xy μ是 ．
()M N
y x g xy N M
∂∂-∂∂=-证明 令，则v xy =()()
xy v μμ=，d v d y
x dv x dv
μμμ
∂∂==∂∂．d v d x
y dv y dv
μμμ
∂∂==∂∂方程 具有的积分因子的充要条件是
0Mdx Ndy +=()xy μ()M N N
M x y y x
μμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂即
()
()d M N
yN xM dv y x
μμ∂∂-=-∂∂当且仅当时，可以求出的表达式．
()()M N
y x
g v g xy yN xM
∂∂-∂∂==-μ所以，方程具有形为的积分因子的充要条件为
0Mdx Ndy +=()xy μ．
()M N
y x
g xy yN xM
∂∂-∂∂=-3 应用举例
例 求方程的解.
[]5
1220y dx x dy +=解 由于，，
，，则
，因此该方程不是恰当2M y =2N x =2M y y ∂=∂2N
x x
∂=∂M N y x ∂∂≠∂∂微分方程．
因为，所以方程有形如的积分因子
2M N
y x N M x y
∂∂-
-∂∂=-+()x y μ+()()
()
2
2ln d x y x y x y e
e μ-++-+⎰==将乘方程两边，得到
()2ln x y e μ-+=()()2ln 2ln 220
x y x y y e dx x e dy -+-++=即
()2ln ()0
x y d e -+=因而，通解为
,（c 任意常数）
．()2ln 2
x y ce x y
-+-=+例 求方程的解．
[]6
22()0y x dx xdy --=解 这里，，
，，方程是非恰当的．2M y x =-N x =-1M y ∂=∂1N
x
∂=-∂因为
，2M N
y x
N x
∂∂-
∂∂=-所以方程有积分因子
,
2
2dx
x e x μ-
-⎰==以乘方程两边得到
2x μ-=,2110y dx dy dx x x
--⋅=,
()0y
d x x
--=因此方程的通解为
　．()0y
d x x
-
-=例 求方程的解．
[][]56
3(cos sin )(sin cos )0y x x x dx y x x x dy -++=　解 这里
， ，
cos sin M y x x x =-sin cos N y x x x =+，cos M
x y
∂=∂，cos cos sin N
y x x x x x
∂=+-∂因此方程是非恰当的．
因为
，
1M N
y x
M
∂∂-∂∂=-所以方程有积分因子
,
1dy
y e e μ⎰
==以乘方程两边得
y e μ=，
(cos sin )(cos sin )0y y y y ye dx ye xdy e x xdy e x xdx -++=即
，
[(1)sin cos ]0y y d y e x e x x -+=于是方程的通解为
．
(1)sin cos y y x x x ce --+=
致谢感谢李老师的悉心指导和帮助！
参考文献
[1]叶产谦．常微分方程讲义[M]．第二版．北京：高等教育出版社，1988．
[2]王柔坏,伍桌群．常微分方程讲义[M]．北京：人民教育出版社，1979．
[3]李瑞遐．应用微分方程[M]．上海：华东理工大学出版社，2005．
[4]王高雄．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2003．
[5]庄万．常微分方程习题与解答[M]．济南：山东科技出版社，2003．
[6]丁崇文．常微分方程典型题解法和技巧[J]．福州：福建教育出版社，2001．。