平面向量的数量积复习PPT优秀课件
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则cosα＝
1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).
2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， ＝
(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
角度和垂直的问题． 3.掌握向量垂直的条件．
1.平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质
[思考探究] 若a∥b，则a与b的数量积有何特点？
提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.
解析：设向量a与b的夹角为θ， 由a⊥(a－b)，得 a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0， ∴|a||b|cos θ ＝|a|2，
∴cos θ ＝ ∴ θ ＝45°. 答案：B
4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为
.
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
1.已知a＝(1，－2)，b＝(5源自文库8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝( )
A.34
B.(34，－68)
C.－68
D.(－34,68)
解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68).
答案：B
2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋
2b|＝
已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ ，则 (1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°； (2)a·b＝0⇔ θ ＝90°； (3)a·b＜0⇔90°＜ θ ＜180°.
[特别警示] 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范 围时，要注意两向量是否共线.
已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. [思路点拨]
，求
实数m，n的值.
[思路点拨]
[课堂笔记] 由于C、A、B三点在同一条直线上， 则
而
＝(7，－1－m)，
＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，
①
又∵
∴－2n＋m＝0，
②
联立①②解得
平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直
接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平 行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空 题的形式出现．而近几年平面向量与函数、解析几何、 三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成 为高考对本节内容考查的一个新方向．
若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”， 试解决上述问题. 解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)， ∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)， a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).
∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6) ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ＝－5＋84 ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)， ∴|a＋b|＝
2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 ，求： (1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)a·b＝|a|·|b|·cos ＝3×4×(－ )＝－6 . a2＝32＝9，b2＝16. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2 ＝3×9－8×(－6 )＋64＝91＋48 . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×(－6 )＋16＝25－12 . ∴|a＋b|＝
()
A.
B.
C.4
D.12
解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，
∴|a＋2b|＝
.
答案：B
3.已知|a|＝1，|b|＝ b的夹角是 A.30° C.90°
，且a⊥(a－b)，则向量a与向量 ()
B.45° D.135°
∴|a|cos〈a，b〉＝
答案：
5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝
.
解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ .
答案：
1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝ |a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，
[考题印证] (2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sin θ) ，b＝(1,2). (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.
【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ
＝cosθ，故tanθ＝ ┄┄┄┄(2分)
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，┄┄(6分)
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. ┄┄┄┄ (7分)
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋ )＝
.┄┄┄┄┄┄┄(10分)
又由0＜θ＜π知， ＜2θ＋ ＜ ，所以2θ＋ ＝ ，或2θ
[课堂笔记] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ， ∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝
设a与b的夹角为θ，则cosθ ∴ θ ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ∴|a－b|＝ . (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α，
＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .┄┄┄(12分)
[自主体验] 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设 向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.
1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共线)的充要条件： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0).
2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， ＝
(－2，m)， ＝(n,1)， ＝(5，－1)，且
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
角度和垂直的问题． 3.掌握向量垂直的条件．
1.平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质
[思考探究] 若a∥b，则a与b的数量积有何特点？
提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°， ∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.
解析：设向量a与b的夹角为θ， 由a⊥(a－b)，得 a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0， ∴|a||b|cos θ ＝|a|2，
∴cos θ ＝ ∴ θ ＝45°. 答案：B
4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为
.
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
1.已知a＝(1，－2)，b＝(5源自文库8)，c＝(2,3)，则a·(b·c)＝( )
A.34
B.(34，－68)
C.－68
D.(－34,68)
解析：a·(b·c)＝(1，－2)×(5×2＋8×3)＝(34，－68).
答案：B
2.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋
2b|＝
已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ ，则 (1)a·b＞0⇔0°＜θ＜90°； (2)a·b＝0⇔ θ ＝90°； (3)a·b＜0⇔90°＜ θ ＜180°.
[特别警示] 在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范 围时，要注意两向量是否共线.
已知|a|＝1，a·b＝ ，(a－b)·(a＋b)＝ ， 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值. [思路点拨]
，求
实数m，n的值.
[思路点拨]
[课堂笔记] 由于C、A、B三点在同一条直线上， 则
而
＝(7，－1－m)，
＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(－1－m)(n＋2)＝0，
①
又∵
∴－2n＋m＝0，
②
联立①②解得
平面向量的数量积是高考重点考查的内容，直
接考查的是数量积的概念、运算律、性质，向量的平 行、垂直，向量的夹角与模等，主要以选择题、填空 题的形式出现．而近几年平面向量与函数、解析几何、 三角函数相结合的题目在高考试题中屡见不鲜，并成 为高考对本节内容考查的一个新方向．
若将例题已知条件改为“已知a＝(3，－4)，b＝(2,1)”， 试解决上述问题. 解：(1)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)， ∴3a－2b＝(9，－12)－(4,2)＝(5，－14)， a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6).
∴(3a－2b)·(a－2b)＝(5，－14)·(－1，－6) ＝5×(－1)＋(－14)×(－6) ＝－5＋84 ＝79. (2)∵a＋b＝(3，－4)＋(2,1)＝(5，－3)， ∴|a＋b|＝
2.利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握 此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 ，求： (1)(3a－2b)·(a－2b)； (2)|a＋b|. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)a·b＝|a|·|b|·cos ＝3×4×(－ )＝－6 . a2＝32＝9，b2＝16. ∴(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2 ＝3×9－8×(－6 )＋64＝91＋48 . (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝9＋2×(－6 )＋16＝25－12 . ∴|a＋b|＝
()
A.
B.
C.4
D.12
解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2
＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，
∴|a＋2b|＝
.
答案：B
3.已知|a|＝1，|b|＝ b的夹角是 A.30° C.90°
，且a⊥(a－b)，则向量a与向量 ()
B.45° D.135°
∴|a|cos〈a，b〉＝
答案：
5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝
.
解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ .
答案：
1.向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝ |a|·|b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，
[考题印证] (2009·湖南高考)(12分)已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sin θ) ，b＝(1,2). (1)若a∥b，求tanθ的值； (2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值.
【解】 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ
＝cosθ，故tanθ＝ ┄┄┄┄(2分)
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，┄┄(6分)
所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5. ┄┄┄┄ (7分)
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋ )＝
.┄┄┄┄┄┄┄(10分)
又由0＜θ＜π知， ＜2θ＋ ＜ ，所以2θ＋ ＝ ，或2θ
[课堂笔记] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝ ， ∴|a|2－|b|2＝ ， 又∵|a|＝1，∴|b|＝
设a与b的夹角为θ，则cosθ ∴ θ ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2× ∴|a－b|＝ . (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2× ∴|a＋b|＝ ，设a－b与a＋b的夹角为α，
＋ ＝ .因此θ＝ ，或θ＝ .┄┄┄(12分)
[自主体验] 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设 向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2). (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝ ，求△ABC的面积.