机械优化设计概述
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f(x)f(x1,x2,...xn)
13
优化设计的目的就是要求所选择的设计变 量使目标函数达到最佳值，即使 f(x)Opt
通常 f(x)min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f( x ) W 1 f1 ( x ) W 2 f2 ( x ) ... W q fq ( x ) 14
u 1, 2,..., m v 1, 2,..., p n
11
图2-5 二维问题的可行域
12
三、目标函数
目标函数是设计变量的函数，是设计中所 追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿 轮的承载能力等。
在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设 计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。
目标函数的一般表示式为：
稳定约束条件 x e
3
1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h2)2 h
失稳的临界力
2EI Fe L2
1
钢管所受的压应力 F1 F B2 h2 2
A TDh
4
钢管的临界应力
e
Fe
2E
T2
D2
A 8 B2h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T2 D2
TDh
8 B2 h2
5
人字架的总质量
1
m D ,h2A L2 T D B 2h22
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。 除了解析法外，还可以采用作图法求解。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1-3人字架优化设计的图解
minF(x)CBTX1XTAX 2
s.t. QXD
X0
XRn 17
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。 其极小点在目标函数等值面的中心。 约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
18
19
四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
m in f ( x ) x Rn
s .t . g u ( x ) 0 u 1,2,..., m
h v ( x ) 0 v 1, 2,..., p n
15
数学模型的分类： (1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
1
图2-2 人字架的受力
2
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
按数学表达形式分：
针对性能要求
只对设计变量的取值范 围限制（又称边界约束）
10
约束
等式约束 不等式约束
h(x) 0
g(x) 0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在 设计空间的活动范围。
一般情况下，其设计可行域可表示为：
x
gu (x) 0 hv ( x) 0
第一章 机械优化设计概述
第一节 应用实例 机械优化设计问题来源于生产实际。
现在举典型实例来说明优化设计的基本问 题。
图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力
2F=3×1 0 5 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,
钢管材料的弹性模量E=2.1 ×1 0 5 Mpa，材料密度ρ=7.8 ×
7
第三节优化设计问题的数学模型
一、设计变量
在优化设计的过程中，不断进行修改、调整， 一直处于变化的参数称为设计变量。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 个列向量表示：
xx1 x2 ... xnT
8
图2-4 设计空间 9
二、约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
确定型模型
设计变量和参数取值确定
随机型模型
设计变量和参数取值随机
(2)按目标函数和约束函数的性质分：
a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数 称为线性规划问题，其数学模型一般为：
16
m in f ( x ) C T x x Rn
s .t . Ax B
x0
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线 性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：
20
21
22
23
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
解析法 数值法
数学模型复杂时不便求解
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
24
图1-11 寻求极值点的搜索过程
25
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优化设计的目的就是要求所选择的设计变 量使目标函数达到最佳值，即使 f(x)Opt
通常 f(x)min
单目标设计问题
目标函数
多目标设计问题
目前处理多目标设计问题的方法是组合成一个 复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即
f( x ) W 1 f1 ( x ) W 2 f2 ( x ) ... W q fq ( x ) 14
u 1, 2,..., m v 1, 2,..., p n
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图2-5 二维问题的可行域
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三、目标函数
目标函数是设计变量的函数，是设计中所 追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿 轮的承载能力等。
在优化设计中，用目标函数的大小来衡量设 计方案的优劣，故目标函数也可称评价函数。
目标函数的一般表示式为：
稳定约束条件 x e
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1
钢管所受的压力
F1
FL h
F(B2 h2)2 h
失稳的临界力
2EI Fe L2
1
钢管所受的压应力 F1 F B2 h2 2
A TDh
4
钢管的临界应力
e
Fe
2E
T2
D2
A 8 B2h2
强度约束条件 x y 可以写成 1 F B2 h2 2 TDh y
稳定约束条件 x e 可以写成
1
F B2 h2 2 2E T2 D2
TDh
8 B2 h2
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人字架的总质量
1
m D ,h2A L2 T D B 2h22
这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个约束条件，可以用 解析法求解。 除了解析法外，还可以采用作图法求解。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1-3人字架优化设计的图解
minF(x)CBTX1XTAX 2
s.t. QXD
X0
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五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。 其极小点在目标函数等值面的中心。 约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
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四、优化问题的数学模型
优化设计的数学模型是对优化设计问题的数 学抽象。 优化设计问题的一般数学表达式为：
m in f ( x ) x Rn
s .t . g u ( x ) 0 u 1,2,..., m
h v ( x ) 0 v 1, 2,..., p n
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数学模型的分类： (1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
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图2-2 人字架的受力
2
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
按数学表达形式分：
针对性能要求
只对设计变量的取值范 围限制（又称边界约束）
10
约束
等式约束 不等式约束
h(x) 0
g(x) 0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在 设计空间的活动范围。
一般情况下，其设计可行域可表示为：
x
gu (x) 0 hv ( x) 0
第一章 机械优化设计概述
第一节 应用实例 机械优化设计问题来源于生产实际。
现在举典型实例来说明优化设计的基本问 题。
图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力
2F=3×1 0 5 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,
钢管材料的弹性模量E=2.1 ×1 0 5 Mpa，材料密度ρ=7.8 ×
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第三节优化设计问题的数学模型
一、设计变量
在优化设计的过程中，不断进行修改、调整， 一直处于变化的参数称为设计变量。
设计变量的全体实际上是一组变量，可用一 个列向量表示：
xx1 x2 ... xnT
8
图2-4 设计空间 9
二、约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
确定型模型
设计变量和参数取值确定
随机型模型
设计变量和参数取值随机
(2)按目标函数和约束函数的性质分：
a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数 称为线性规划问题，其数学模型一般为：
16
m in f ( x ) C T x x Rn
s .t . Ax B
x0
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线 性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：
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21
22
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第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
解析法 数值法
数学模型复杂时不便求解
可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题
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图1-11 寻求极值点的搜索过程
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