运筹学-第十章-多目标决策

目标规划模型

目标函数 f ( x) ( f1 ( x),, f p ( x))
目标值

f ( f ,, f )
* * 1 * p
不一定是 理想值

引入距离 d ( y, z ) 得到目标规划模型

min d ( f ( x), f )
x X
*

分层目标规划模型
距离的若干种定义
10.4 目标规划

目标规划的产生与发展

目标规划模型
目标规划的产生与发展

目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基
本思想是求尽可能接近某个目标值的解

1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要
性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念，
进一步完善了目标规划的数学模型
有效解判别方法之一
ˆ X ，则它是有效解的充要条件是 若x
ˆ x
为
min s.t.
f
k 1
p
k
( x)
x X ˆ ) (k 1,, p) f k ( x) f k ( x
的最优解
对多目标线性规划
min (c x,, c x) s.t. Ax b x0
如何判断一个可行解
x x
1
2
x 2 x3
x x
3
1
该公司副总裁则注意合作精神和进取心，他认为这两项评分 之和高者是优秀人才，因此他的看法是：
x1 x 2
x 2 x3
x x
1
3
每个人有不同的偏爱，因而产生不同的选择
价值函数
U(x1)>U(x2),
偏爱结构
z2
B(6,45)
A(7,10)
C(8,-20)

距离定义可采用几种方式：

距离模评价函数
p-模评价函数 极大模评价函数 几何平均评价函数
p 1
p2 p
例（极大模评价函数）
min ( x1 x2 x3 208, 15 x1 14 x2 12 x3 , 3 x1 ) s.t. 80 x1 0 125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 208 0 x1 , x2 , x3 0

x X
ˆ X 。若不存在 x X 使得 设 x
ˆ) f k ( x) (k 1,, pFra Baidu bibliotek fk ( x
且至少有一个是严格不等式，则称 有效解
ˆ x
是（VP）的
例1 的有效解
z2 x2 P’2(5,50)
P3(10,40) A(7,10)
z1
0 P (10,0) 1
P2 50,0
xX k 1 p
其中(w1 , , wp )是非负常向量

若 wk>0 ，ˆ x 是 (Pw) 的最优解，则它是有效解 若wk≥0 且至少有一个>0， 弱有效解

ˆ x 是 (Pw) 的最优解，则它是
有效解判别方法之三
( Pu ) : min u ( f ( x)), 其中u ( y )是关于y的严格增函数，
数据如下：
A I II 价格系数 产 量 外销总量 7 6 1 1 0.4 B 5 9 0.8 1 0.6 C 6 5 0.9 1 0.2 总量 250 210
理想点法

理想点： f * ( f1* , , f p* )，其中 f k* min f k ( x)
xX
通过定义目标与理想点之间的距离，将多目标问题 转化为单目标问题来求解
设该厂下一季度生产 i 号品的时间为 xi 小时（i =1,…,5）
5 min xi T i 1 5 max i ai xi i 1 max a1 x1 a2 x2 s.t. bi ai xi 0 (i 3, 4,5) 5 xi T 0 i 1 xi 0 (i 1, 5)
1
p
ˆ x
是否为有效解？
p k min c x k 1 ˆ LP ( x ) : s.t. ˆ (k 1, , p ) ck x ck x Ax b x0
结论：

若
若
ˆ x ˆ x
为 LP 的最优解，则必为有效解
不是 LP 的最优解，而是 y，则 y 即是有效解
min u ( f1 ,, f p ) wk f k ( x)
k 1 p
s.t. x X

若决策者认为某可行解是一个比较好的选择，则
min wk f k ( x)
k 1
p
s.t. x X f k ( x) f k ( x ) (k 1,, p)
例 某公司有A, B, C三种产品，利用两种资源 I, II,
r模 r =1 r=2 r= d r = (
k=1 p p
fk f
* r k
)
1 r
d1 =
k=1 p
f k f k*
d2 =
* 2 (f f k k) k=1
d = max{ f k f k* }
1 k p

fk 关于 f 的正偏差
* * f f , f f k k k k >0 dk = 其余 0,
z1
多目标决策问题的求解

利用决策者偏爱结构确定价值函数，将多目标问题 转化为单目标问题
max u ( f1 ( x) , f 2 ( x) ,, f p ( x)) s.t. x X
10.3 评价函数法

线性加权法 理想点法


极大极小法
参考目标法
线性加权法

最简单、最基本的方法（其中 wk 0 )
可行解 (2, 0, 0) 是否为有效解?
构建线性规划
max z = 2 x1 2 x2 3x3 s.t. x x x 2 1 2 3 x1 2 x2 x3 2 2 x1 x2 x3 4 x1 3x2 x3 5 2 x1 x2 2 x3 4 x1 ,x2 ,x3 0
有效解存在定理
设 X⊆Rn. 若 f(x)=(f1(x), …, fp(x)) 中的各函数 fk(x) (k=1,…, p) 在 X 上连续，并存在 x X 使集合
H x {x X f ( x) f ( x )}
是有界闭集，则（VP）存在有效解
有效解判别方法之二
对 ( Pw ) min wk f k ( x )
润为投资额的20%，但风险大。由于其他原因，公司 对项目1的投资不能少于10万元。试问：如何投资， 才能兼顾利润和风险？
设 x1 为项目 1 的投资额，x2 为项目 2 的投资额
max z1= 0.1x1 +0.2x2
max z2= x1 - x2 s.t. x1 + x2 50 x1 10 x 1， x 2 0
例 已知一个多目标决策问题（Max问题）
max z 1=x1-x 2+x 3 max z =-x -2 x +x 2 1 2 3 max z 3=2 x1+x 2+x 3 s.t. x 1+3x 2+x 3 5 2 x1+x 2+2 x 3 4 x 1 ,x 2 ,x 3 0
* k

fk 关于 f k* 的负偏差
* * fk fk , fk fk 0 dk = 其余 0,
第十章 多目标决策

多目标决策问题及其有效解


偏爱和多目标决策问题的求解
评价函数法


目标规划
层次分析法

软件应用
10.1 多目标决策问题及其有效解

多目标决策问题引例
多目标决策问题的有效解
例1（投资决策问题）
公司有50万元资金，打算向两个项目投资。已知项
目1的利润为投资额的10%，但风险小；项目2的利

目标之间的不可公度性：指各个目标一般没有统一的衡量 标准，因而很难进行比较 目标之间的冲突性：大部分多目标决策问题存在着冲突。 即如果采用某种方案去改进一个目标值，很可能会使另一 目标值变坏

多目标线性规划
min/ max f (c1 x,, c p x) s.t. Ax b x0
分层多目标最优化模型
xX
是(PU )的最优解，则x 是(VP)的有效解 x
( Pu ) : min u ( f ( x)), 其中u ( y )是关于y的增函数，
xX
是(Pu )的最优解，则x 是(VP)的弱有效解。 x
1/ P
P 例 : u ( f ) wi f i i
10.2 偏爱和多目标决策问题的求解
多目标最优化模型 (Multiobjective Optimization/Vector Optimization)
min/ max f ( x) ( f1 ( x),, f p ( x)) s.t.
其中
x X
n
X {x R gi ( x) 0, i 1,, m}
多目标决策问题的共同特点
min max k ( x)
xX 1 k m
min t s.t. x X k ( x) t (k 1, , m)
权重确定方法

α－法 均差排序法 专家小组法 判断矩阵法
其他求解多目标规划的方法




交互规划法 逐步宽容约束法 权衡比替代法 逐次线性加权和法 混合优选法－－多目标混合最优化模型 分目标乘除法 功效函数法 选择法 分层求解法－－分层模型 完全分层法，分层评价法，分层单纯形法 目标规划法

偏爱与价值函数 多目标决策问题的偏爱结构

多目标决策问题的求解思路
偏爱
例 某公司准备提升一位部门经理，由人事部门对三
个候选人就能力、合作精神、进取心进行评优，给 出分数如下：
得分 候选人1 (x1) 候选人2 (x2) 候选人3 (x3)
能力 合作
进取
7 8
9
8 9
7
9 7
8
该公司总裁在选拔干部时，注意特长，他喜欢在某一方面比 别人分数高的人，当某人一项指标高过另一人2分，他就认 为前者好，因此他的看法是 ：
第1优先层，…，第L优先层
min/ max [ PF 1 1 ( x),, P L FL ( x)] s.t. x X
与偏好有关
多目标决策问题的有效解

对于一个可行解，如果不存在“优于”它的可行解，
则称其为有效解（帕累托最优解；非劣解）
min f ( x) ( f1 ( x),, f p ( x)) s.t.
理想点：f * (0, 4210, 240)
( x1 x2 x3 208, 15x1 14x2 12x3 , 3x1 )
min s.t. 80 x1 0 125 x2 0 105 x3 0 x1 x2 x3 208 0 x1 x2 x3 208 0 15 x1 14 x2 12 x3 4210 3x1 240 x1 , x2 , x3 , 0
常用的风险度量： VaR & CVaR
例2（生产计划问题）
某工厂生产 5 种产品：1号品，…，5号品。该厂生 i 产 i 号品的生产能力是 ai 件/小时，每件 i 号品可获利 元。根据市场预测，下一季度 3, 4, 5 号品的最大销售 量为 bi 吨，而市场对 1 和 2 号品的需求是尽可能多 的。工厂下一季度的生产能力为 T 小时。试问：如何 安排下一季度的生产计划，在避免开工不足的条件下， 使工人加班时间尽量地少、工厂获利最大、满足市场 对 1 号品和 2 号品尽可能多的需求？
x1
P’1(1,10)
P’3(9,-30)
决策空间
目标空间
min f ( x) ( f1 ( x),, f p ( x)) s.t. x X
ˆ X 。若不存在 x X 使得 设 x
ˆ) fk ( x) (k 1,, p) fk ( x
ˆ 是弱有效解 则称 x
ˆ 的严格小 找不到一个解，使得各目标值都比 x

求解目标规划的方法则由杰斯基莱恩和桑·李提出并加以 改进

目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中 多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种数 学方法 基本含义：在一定约束条件下，要求多个目标达到或尽可 能接近于给定的对应目标值 特点：既保持了线性规划易于计算的特点，又克服了线性 规划只能解决单一目标优化问题的局限性