正交(FFT)变换图像处理

W20
2点DFT −1
X1[1] X2[0]
W40
−1
1 W4
X [2] X [3]
W20
2点DFT −1 X2[1]
−1
4点基2时间抽取FFT算法流图
W40 W40 W40 W41
迭代
对偶
重排
m X [m] = X 1[m] + W8 X 2 [m], 8点基2时间抽取FFT算法流图 m X [m + 4] = X 1[m] − W8 X 2 [m],
FFT的算法原理
FFT 不是一种新的变换，它只是DFT的一种改进算法。 它分析了DFT中重复的计算量，并尽最大的可能使之减 少，从而达到快速计算的目的。 把时间序列 x（n）按照 n 的奇偶进行分组计算的 FFT 算法又称为按时间分组的 FFT 算法。而如果将频率序 列 X（m）按照 m 的奇偶进行分组而进行计算的算法， 则称为按照频率分组的 FFT 算法。 将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子 WPN 的特性，由子序列的 DFT 来实现整 个序列的 DFT，从 而提高 DFT 的运算效率，也就实现了快速傅立叶变换。 设输入序列长度为 N=2M(M 为正整数)，将该序列的频 域的输出序列 X(k)(也是 M 点序 列)，按其频域顺序 的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按频率抽取 的FFT算法。也称为 Sander-Tukey 算法。 FFT蝶式流程图算法
原图
经离散余弦变换后
沃尔什变换算法
具体算法描述参见： http://wenku.baidu.com/view/74e4c4661 ed9ad51f01df2d6.html
原图
经沃尔什变换后
相关论文
• 基于傅立叶变换的梯田纹理特征提取.pdf 网址： http://www.gtzyyg.com/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF &id=135 论文： 离散余弦变换的改进的算术傅里叶变换算法.pdf 网址： http://www.ejournal.org.cn/qikan/manage/wenzhang/20000924.pdf 论文： 全相位沃尔什爽正交变换及其在图像压缩中Байду номын сангаас应用.pdf 网址： http://220.194.54.16/qikan/manage/wenzhang/20070731.pdf 论文： 数字图像正交变换的研究与设计.pdf 网址：http://www.paper.edu.cn
步骤：A) 将X [m]取共轭
B) 用FFT流图计算DFT { X ∗[m]}
C) 对B)中结果取共轭并除以N
快速傅立叶变换
原图
经快速傅立叶变换
离散余弦变换（DCT）
具体算法的实现参见 http://blog.csdn.net/crfoxzl/article/details/ 1864885 http://wenku.baidu.com/view/24d35af977 0bf78a652954fc.html
重新排序
FFT的算法步骤
利用FFT实现 实现IFFT 利用 实现
X [ m] = DFT {x[k ]} =
N −1
∑ k =0
mk x[k ]W N
1 x[k ] = IDFT {X [m]} = N
N −1
∑0 m=
N −1
− X [m]W N mk
∗
1 ∗ mk x[k ] = ∑ X [m]W N N m =0
旋转因子
1)周期性 周期性
km 的性质 W N
( k km W Nk + N ) m = W N ( m + N ) = W N
2) 对称性
mk +
WN
N 2
=
mk −W N
(
km ∗ WN
)
− = W N mk
3)可约性 可约性
mk WN
mk nmk W N = WnN
mk / n = WN / n ,
FFT算法流图加权系数 W
P N 规律
0 第一级的蝶形系数均为 W N ，蝶形节点的距离为1。
0 N 第二级的蝶形系数为 W N , W N / 4 ，蝶形节点的距离为2。
0 N 2 3 第三级的蝶形系数为 W N , W N / 8 , W N N / 8 , W N N / 8 ，蝶形 节点的距离为4。
m = 0,1,2,3 m = 0,1,2,3
X [0] X [1] X [2] X [3]
−1 −1 −1 −1
x[0] x[2] x[4] x[6] x[1] x[3] x[5] x[7] 4点DFT 4点DFT
X1[0] X1[1] X1[2] X1[3] X2[0] W80
X [4] X [5] X [6] X [7]
N / n为整数
返回
FFT的算法原理
将时域序列逐次分解为一组子序列，利用旋转因子 的特性，由子序列的DFT来实现整个序列的DFT。 基2时间抽取 时间抽取(Decimation in time)FFT算法 时间抽取 算法
x[2r ] N x[k ] → r = 0,1, L − 1 2 x[2r + 1]
傅里叶变换
如令ω=2πu,则有 F(ω) = ∫∞-∞ f(x) e-j ωxdx f(x)=1/2π ∫∞-∞ F(ω) ej ωxd ω 通常把以上公式称为傅立叶变换对。
傅里叶变换
//算术傅里叶变换(AFT); 离散傅立叶变换(DFT); 快速傅立叶变换(FFT)。
DFT的性质
具有可分性； 线性（傅里叶变换是线性算子）； 共轭对称性； 旋转型； 比例变换特性； 帕斯维尔（Parseval）定理； 相关定理； 卷积定理。 http://wenku.baidu.com/view/79f84c0d6c85ec3a 87c2c5cf.html
X [0] X [1] X [2] X [3] X [4] X [5] X [6] X [7]
x[2] x[4] x[6] x[6] x[1] x[1]
x[3] x[5] x[5] x[3] x[7] x[7]
W80
1
W X12[1] W8 4
X21[0]
W
0 8
X21[1] 1
W81 X2[1]
0 0 W4 8 21 1
迭代次数r的确定
由蝶式流程图可见，迭代次数r与N有关。 值可由下式确定 r=log2N 式中N是变换序列的长度。对于基数2的 碟式流程图是2的整数次幂。
对偶节点的计算
在流程图中把有xl(k)的点称为节点。其中下标l 为列数，也就是第几次迭代，k代表流程图中的 行数，也就是序列的序列号，其中每一节点的 值均是用前一节点对计算得来的。在蝶式流程 图中，把具有相同来源的一对节点叫做对偶节 点。对偶节点的计算也就是求出在每次迭代中 对偶节点的间隔或者节距。对偶节点的计算方 法如下： 若某一节点为xl(k)，那么它的对偶节点为 xl(k+N/2l) 式中l是表明第几次迭代的数字，k是序列的序列号， N是序列长度。
正交变换(2/3)
正交变换(3/3)
下面介绍三种正交变换
： 快速傅里叶变换 离散余弦变换 沃尔什变换
傅里叶变换
傅里叶变换在数学中的定义是严格的。 设f(x)为x的函数，如满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间断点； （2）具有有限个极限点； （3）绝对可积。 则有下列二式成立 F(u)= ∫ ∞-∞ f(x)e-j2πuxdx f(x)= ∫∞-∞ F(u)ej2πuxdu 其中x是时域变量，u为频率变量。
P 的计算 加权系数W N
WPN的计算主要是确定P值。P值可用下述方法求得：
把k值写成r位的二进制（k是序列的序列数，r是迭 代次数）； 把这个二进制数右移r-1位，并把左边的空位补零 （结果仍为r位）； 把这个右移后的二进制数进行比特倒转； 把这比特倒转后的二进制数翻成十进制数就得到P 值。
P 的计算 加权系数W N
4点DFT X22[0]W
X2[2] W82 X2[3] W83
1
W80
1
W X22[1]W8 4
基2时间抽取FFT算法 时间抽取FFT算法 FFT
第一级
W80 W80 W80 W82 W80 W80 W80 W80 W82 W81 W82 W83
第二级
第三级
FFT蝶式流程图算法必须解决的问题
迭代次数r的确定； 对偶节点的计算； P 的计算； 加权系数W N 重新排序问题。
利用傅里叶变换等正交变换算法进行 图像处理
正交变换(1/3)
数字图像处理的方法主要分为两大类： 一个是空间域处理（或称空域法）; 一个是频域法（或称变换域法）。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 这种变换一般是线性变换，其基本线性运算式 是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因 此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理技 术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像压缩、图像增强、图像复原、图像识别以 及图像编码等处理中。 所谓正交变换如下所述：
( 0 1 第M级 的蝶形系数为 W N , W N , L , W NN / 2−1) ，蝶形 节点的距离为N /2。
重新排序
由蝶式流程图可见，若序列x(n)是按顺序 排列的，经过蝶式运算后，其变换序列 x(m)是非顺序排列的，即乱序的；反之， 若x(n)是乱序的，那么，x(m)就是顺序的。 因此，为了便于输出使用，最好加入重新 排序程序，以便保证x(n)与它的变换系数 x(m)对应关系。具体排序方法如下：
x[0] x[1] W20 -1
X [0] X [1]
X [m] = X 1[m] + W4m X 2 [m], m = 0,1 4点基2时间抽取FFT算法流图 X [m + 2] = X 1[m] − W4m X 2 [m], m = 0,1
X1[0]
x[0] x[2] x[1] x[3]
X [0] X [1]
频率抽取(Decimation in frequency)FFT算法 基2频率抽取 频率抽取 算法
X [ 2 m] X [ m] → X [2m + 1]
返回
基2时间抽取FFT算法流图
N=2
x[k]={x[0], x[1]}
X [0] = x[0] + W 20 x[1]
1 X [1] = x[0] + W 2 x[1] = x[0] − W 20 x[1]
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OVER
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W81 X2[1]
X2[2] W82 X2[3] W83
8点基2时间抽取FFT算法流图
x[0] x[0] x[2] x[4]
W80
1 X11[0] X11[1]
0 4点DFT40 WW X12[0] 8
X1[0] X1[1] X1[2] X1[3] X2[0] W80 −1 −1 −1 −1
1
21 1