因式分解课件一

桥 思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
公因式 是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
找找上面各式的公因式，并尝试把他们因式分解
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
新知探究
整体思想的运用
例.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式. 分析：将x-3看作一个整体，则多项式可看成
a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。
知识储备
例2： 8a3b2-12ab3c+ab
× 解:原式=ab (8a2b-12b2c) =ab(8a2b-12b2c+1)
当多项式的某一 项和公因式相同 时，提公因式后 剩余的项是1
注：提取公因数后,括
号内的多项式的项数与 原多项式的项数相同.
例3、 -3x²y²+x²y²-xy
解原式= -xy(3xy-xy+1)
= 2x2 (1+3x) 如果一个多项式的各项含
有公因式，那么就可以把 这个公因式提出来，从而 将多项式化成两个因式乘 积的形式，这种因式分解
的方法叫做提公因式法。
知识储备
例1：用提公因式法分解因式
3x+x3
解：原式= x3+ x2
用提公因式法分解因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，(即将多 项式化为几个因式的乘积)
=6(a-b)2 [2b+3(a-b)]
=6(a-b)2 (2b+3a-3b)
=6(a-b)2(3a-b)
2：(x-y)2+y(y-x)
3、a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结 果是(C )
(A)(a-b)(a-c) (B)(a-b)(a-c)
(C)(a+b)(a-c) (D)(a+b)(a+c)
解： 3a（x+y）-2b（x+y） =（x+y）.3a-2b.（x+y） =（x+y）（3a-2b）
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以 是一个单项式也可以是一个多项式。
在下列各式等号右边的括号前 填入“+”或“－”号，使等式成立：
(1) (a-b) =_－__(b-a); (2) (a-b)2 =_+__(b-a)2; (3) (a-b)3 =_－__(b-a)3; (4) (a-b)4 =_+__(b-a)4;
(n是奇数）
互为相同数,
(n是整数）
例1：分解因式
2(a b)2 a b
添括号法则： 括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变 号；括号前面是“—”号，括到括号里的是各项 都变号。
例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项。 其中x-y与y-x互为相反数，可将+b(y-x)变为b(x-y)，则a(x-y)与-b(x-y) 的公因式为 (x-y)
观察与思考
观察分解前多项式的次数与分解后每个 因式的次数，你有什么发现？
(1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4x2-8x =4x(x-2)
分解后，每个因式 的次数都低于原来 的多项式
(3). 1-4x2 =(1- 2x)(1+2x)
(4). x2-14x+49 =(x-7)2
因式分解的作用：降次
想一想
以下几个多项式有什么共同的特征： （1） 2πR＋2πr （2） ma＋mb （3） cx－cy＋cz
共同特征：各式中的多每项一项式都各含有项一都个相含同有的因的数相或因式 同因式，叫做这个多项 式各项的公因式。
多项式中的公因式是如何确定的？ 例 : 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式。
(5) (a+b)5 =_+__(b+a)5; (6) (a+b)6 =__+_(b+a)6.
(7) (a+b) =_-__(-b-a); (8) (a+b)2 =__+_(-a-b)2.
两个只有符号不同的多项式是否有关系, 有如下判断方法: (1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时,
如果首项含有 负数怎么办？
练习：
(1) 3ma3 6ma2 12ma
(2) 2x3 4x2 8x
小亮解的有误吗？试说明理由，并 给出正解
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
A. (a－2)(m2－m) B. m(a－2)(m＋1)
C. m(a－2)(m－1) D.以上答案都不对
课前准备：讲义、草稿纸、笔记 、双色笔
还有你的激情与目标！相信自己！
课前赠言： 1.我的课堂，你做主。 2.你是独一无二的，相信自己！ 3.提出问题比解决问题更重要。
崔楼初中 崔尚丰
做一做
速战速决
根据左面算式填空:
(1) 3x(x-1)=_3_x_2_-_3_x, (1) 3x2-3x=_3_x_(x_-_1_)_
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解： a2bab2 ab(ab)
35
15
分解因式：
(1)2ax 3x;(2)2a((bb c) 3((bb c)
回
忆 搭
(3)a(xyy)) b((xx yy));(4)7x((mmnn)) 2y((mmnn)).
则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b）
例1 分解下列因式 (1)a(x y) b( y x); (2)6(m n)3 12(n m)2;
解：(1)a((xx y) b((yyxx)) (2)6(m n)3 12(n m)2
a(x y) b(x y) (x y)(a b)
即：将高次转化为低次
实战考场
下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？
哪些不是？为什么？ (1) 2m(m－n)=2m2－2mn
(2) 5x2y －10xy2=5xy(x － 2y)
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
(4) x2+x+1=x(x+1)+1
不是整式
(5) x 1 x(1 1 )
新旧相联
联系2：分解质因数与因式分解
分解质因数
6＝2×3 18＝2×32 90＝2×32×5 100＝22×52
因式分解 1-x2 =(1+x)(1-x)
4x2-8x =4x(x-2)
1-4x2 =(1-2x)(1+2x) x2-14x+49 =(x-7)2
1、结果都是以积的形式出现
2、积中的每个因式（数）都不能再分
明确新知
一般地，把一个多项式表示成几个
整式的乘积的形式，称为把这个多项式
因式分解，有时我们也把这一过程叫做 分解因式。 只有多项式才可能进行
要求：１.是一因种式恒分等解变形 2.变形对象：是 多项式 ;
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式
4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
(6) x2+1=(x-1)(x+1)
x 两边不相等
因式分解的应用:
(1)1012－992= (2)872+87×13=
(3)512－2×51+1=
(4)2.5×19.7－44.5×2.5+2.5×25.9
课堂练习
1、已知x-y=2,x2-y2=12, 求x+y的值.
2、x2 mx n能分解成( x 2)( x 5)
拓展练习
1、把6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3分解因式.
解：原式= 6(x+y)(x-y)2- 9(x-y)3 = 3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)] = 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y) = 3(x-y)2(-x+5y) =3(x-y)2(5y-x)
2、求证：对于自然数n， 2n+4-2n能被30整除.
火眼金睛
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
则 m= ______, n= ______.
本节要点
一个 多项式
因式分解 整式乘法
几个 整式积
只有多项式才可能进行因式分解
要求：１.是一种恒等变形 2.变形对象：是 多项式 ;
3.变形过程：由 和 变成 积 的形式
4.变形的结果：是几个 整式 的积 5.分解结果中的每个因式不能再分
提公因式法
探究新知
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n
(2) a+b与b+a
(a+b)n = (b+a)n
3
定系数
2 定指数 x
定字母
所以，公因式是3x2
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数：公因式的系数是各项整数系数的
最大公约数。
定字母：取各项的相同的字母。
定指数：相同字母的指数取次数最低的，
即相同字母最低次幂。
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流
2x2+6x3
解：2x2+6x3 = 2x2 + 2x2·3x
故公因式为x-3
解： 原式＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ） 不要漏掉1 哦
练习：y(x+1)+y2(x+1)2 y(x 1)[1 y(x 1)] y(x 1)(xy y 1)
例1：把3a（x+y）-2b（x+y）分解因式； 分析：这个多项式就整体而言可分为两大项，即 3a（x+y）与-2ab（x+y）每项中都含有（x+y） 因此，可把（x+y）作为公因式提出来。
解： 原式=a(x-y)-b(x-y)
=（ｘ－y）（ａ-ｂ）
例3. 把6(m-n)3-12(n-m)2分解因式.
分析：其中(m-n)与(n-m)互为相反数. 可将-12(n-m) 2变为-12(m-n)2， 则6(m-n)3与-12(m-n)2 公因式为6(m-n)2
解：原式=6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2)
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
课堂练习： 1.把 12b(a-b)2 – 18(b-a)3 分解因式
解： 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
=12b(a-b)2 + 18(a-b)3
(2) m(a+b+c) =_____,(2)ma+mb+mc=___
ma+mb+mc
m(a&#–_b_2,(3) a2-b2=_(_a_+_b_)(_a_-b_)
(4) (x-3)2=_x_2_-6_x_+_9___,(4) x2-6x+9=__(x_-_3_)_2 __ (5) a(a+1)(a-1)=_a_3-_a_, (5) a3-a=_a_(a_+_1_)_(a_-_1_)__
课堂练习：
１、下列各式均用提取公因式法因式分解,其中 正确的是( D)
A. 6(x－2) ＋x(2－x)=(x－2)(6＋x)
B. x3＋3x2＋x=x(x2＋3x)
C. a(a－b)2＋ab(a－b)=a(a－b)
D. 3xn＋1＋6xn=3xn(x＋2) 2、m2(a－2) ＋m(2－a)分解因式等于（ C ）
新旧相联
联系1： 整式乘法与因式分解
整式的积 多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b) =a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+2ab+b2 =(a+b)2
m(a+b+c) =am+bm+cm
am+bm+cm =m(a+b+c)
整式乘法互逆变形 因式分解
6(m n)31122((mmnn)2
分析：例1应用如下关系：
（b-a）=-（a-b）
6(m n)2[(m n) 2]
6(m n)2 (m n 2)
（b-a）2=（a-b）2 即：当n为正偶数时（b-a）n=（a-b）n
（b-a）3=-（a-b）3 当n为正奇数时（b-a）n=-（a-b）n （b-a）4=（a-b）4