课时作业：第3章 导数及其应用章末总结

导数章末总结

知识点一 导数与曲线的切线

利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得

y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)① 又y 1＝f (x 1)② 由①②求出x 1，y 1的值．

即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．

例1 已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．

知识点二 导数与函数的单调性

利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f ′(x )；

(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 例2 求下列函数的单调区间：

(1)f (x )＝x 2

＋sin x ； (2)f (x )＝x (x －a )2.

知识点三 导数与函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．

1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；

(2)解方程f ′(x )＝0的根； (3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．

若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．

2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：

(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；

(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；

特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．

例3 设23

，求常数a ，b .

知识点四 导数与参数的范围

已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．

例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x

(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．

例5 已知f (x )＝x 3－12

x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )

课时作业：

一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

1.已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )

A ．f ′(x A )>f ′(x

B ) B ．f ′(x A )

C ．f ′(x A )＝f ′(x B )

D ．不能确定

3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( )

A ．y ＝－4x －1

B ．y ＝4x －1

C ．y ＝4x －11

D ．y ＝－4x ＋7

4．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34

上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤0，π2

B.⎣⎡⎦⎤0，π2∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭

C.2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭

D.⎣

⎡⎦⎤0，2π3

5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．[3，＋∞)

B ．[－3，＋∞)

C ．(－3，＋∞)

D ．(－∞，－3)

6．曲线y ＝x x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2

7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )

A ．π－1 B.π2

－1 C ．Π D ．π＋1 10.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

11．函数f (x )＝x 1－x

的单调增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)，(1，＋∞) D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)

二、填空题

13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12

x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝_____. 14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为______．

16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的

倾斜角均为34

π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．

三、解答题

17．若函数f (x )＝13x 3－12

ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．

18．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23

与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；

(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )

20．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .

(2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．