基本初等函数经典总结

第十二讲 基本初等函数

一：教学目标

1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；

2、理解基本初等函数的性质；

3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数

二：教学重难点

教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用

三：知识呈现 1.指数与指数函数

1).指数运算法则：（1）r

s

r s

a a a

+=； （2）()

s

r rs a

a =； （3）()r

r r ab a b =；

（4）m

n m

n

a a =；

（5）m n

n

m

a

a -

=

（6）

,||,n

n a n a a n ?=?

?奇偶

2). 指数函数：形如(01)x

y a a a =>≠且

2.对数函数

1）对数的运算：

指数函数 0

a>1

图 象

表达式 x y a =

定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1)

单调性

单调递减 单调递增

1、互化：N b N a a b log =?=

2、恒等：N a

N

a =log

3、换底： a

b b

c c a log log log = 推论1 a

b b a log 1log =

推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n

a a

n b b m

=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log +=

log log log a

a a M

M N N

=- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数：

对数函

数

0

a>1

图 象

表达式 log a y x =

定义域 (0,)+∞

值 域 R

过定点 (1，0)

单调性

单调递减

单调递增

3.幂函数

一般地，形如 a

y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质：

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);

(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；

(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。

四：典型例题

考点一：指数函数

例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，

∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值围是14??

+ ???

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．

例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤，即1

t a a

≤≤．

∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1

a t a

≤≤，

∴ 1t a =时，2

max 11214y a ??

=+-= ???

，

解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或1

3

．

评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．

例3 求函数y =的定义域和值域． 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则y =

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝2

3231+-?

?

?

??x x 的单调区间.

分析 这是复合函数求单调区间的问题

可设y ＝u

??? ??31,u ＝x 2

-3x+2，其中y ＝u

??

? ??31为减函数

∴u ＝x 2

-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2

-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)

解：设y ＝u

??

? ??31,u ＝x 2

-3x+2,y 关于u 递减，

当x ∈(-∞，2

3

)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［2

3

，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.

考点二：对数函数

例5 求下列函数的定义域 （1）y=log 2（x 2

-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x

）

（3）y= ．

解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．

（2）令 得

故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．

（3）令 ，得

故所求定义域为 ｛x ｜x ＜-1-

，或-1-

＜x ＜-3,或x ≥2｝．

说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．

例6 比较大小：

（1）log 0．71．3和log 0．71．8． （2）（lg n ）1．7和（lgn ）2

（n ＞1）． （3）log 23和log 53． （4）log 35和log 64．

解：（1）对数函数y=log 0．7x 在（0，+∞）是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log 0．71．3＞log 0．71．8．

（2）把lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn 讨论．

若1＞lgn ＞0，即1＜n ＜10时，y=（lgn ） x

在R 上是减函数，所以（lgn ）

1．2

＞（lgn ）2

；

若lgn ＞1，即n ＞10时，y=（lgn ）2

在R 上是增函数，所以（lgn ）

1．7

＞（lgn ）2

．

（3）函数y=log 2x 和y=log 5x 当x ＞1时，y=log 2x 的图像在y=log 5x 图像上方．这里x=3，所以log 23＞log 53．

（4）log 35和log 64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．

因为log 35＞log 33=1=log 66＞log 64，所以log 35＞log 64．

评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．

例7 已知f （x ）=2+log 3x ，x ∈［1，9］，求y=［f （x ）］2

+f （x 2

）的最大值，及y 取最大值时，x 的值．

分析 要求函数y=［f （x ）］2

+f （x 2

）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．

解：∵f（x ）=2+log 3x ，

∴y=［f （x ）］2

+f （x 2

）=（2+log 3x ）2

+2+log 3x 2

=（2+log 3x ）2+2+2log 3x =log 2

3x+6log 3x+6 =（log 3x+3）2

-3．

∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，

∴要使函数y=［f （x ）］2

+f （x 2

）有定义，就须?

??≤≤≤≤919

12x x ，

∴1≤x ≤3． ∴0≤log 3x ≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2

-3≤13

∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2

+f （x 2

）取最大值13．

说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2

+f （x 2

）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．

其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2

+f （x 2

）的值域为［6，13］． 例8 求函数y=log 0．5（-x 2

+2x+8）的单调区间．

分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x 2

+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．

解．∵-x 2

+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，

∴ 原函数的定义域为（-2，4）．

又∵ 函数u=-x 2

+2x+8=-（x-1）2

+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数． 评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．

考点三：幂函数 例9．比较大小：

（1）1122

1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112

5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5

解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴1122

1.5 1.7<

（2）∵3

y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴3

3

( 1.2)( 1.25)->-

（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴11

5.25 5.26-->；

∵ 5.26x

y =是增函数，12->-，∴1

25.26 5.26-->；

综上，1

125.25

5.26 5.26--->>

（4）∵3

00.51<<，0.5

3

1>，3log 0.50<，

∴30.5

3log 0.50.53<<

例10．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，

求m 的值． 解：∵幂函数2

23

m

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，

∴2

230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2

(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2

23m m --是奇数，∴0m =或2m =．

例11、求函数y ＝5

2x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）值域．

解析：设t ＝x 5

1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2

＋2t ＋4＝（t ＋1）2

＋3．

当t ＝－1时，y min ＝3．

∴函数y ＝5

2

x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

五：课后练习

1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=a

x

-和y=log

x a

的图像可能是（ ）

A B C D 2．求值40625.0+416

-（π）0

-38

33= 3. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）

Ａ．13

y x = Ｂ．2

y x = Ｃ．3

y x = Ｄ．2

y x -= 答案：Ｂ 4.已知x=

21,y=31

,求y x y x -+-y

x y x +-的值 5．若a 2

1

＜a 2

1

－，则a 的取值围是（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞0

C ．1＞a ＞0

D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C

6.下列式子中正确的是（ ）

A log a

)

(y x -=log a

x

-log a

y

B

y

a

x a log log =log x a -log y

a

C y

a

x a log log =log y

x a D log a

x

-log a

y

= log y

x a