第5讲 证据理论基础(1)

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2 证据理论基础——证据函数
(2) 证据函数 证据是整个证据理论的核心，证据函数又是 描述证据的有力工具。下面将详细介绍证据理论 中几个证据函数的基本概念及相关定理。
基本置信度指派函数；
信任度函数；
似真度函数等
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全体焦元的集合称为证据的核。
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2 证据理论基础——基本置信度指派函数
基本置信度指派函数的作用 把Θ的任一子集都映射到[0,1]上的一个数m(A)： （1）当A由单个元素组成时，m(A)表示对相应命题A的精确 信任度； （2）当 A 2 ，A≠Θ ，且A由多个元素组成时，m(A)也是
释:
概率是指某人在证据的基础上构造出的他对某一命题为真 的信任程度，简称信度。
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主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
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4.2 证据理论基础
证据理论的起源
证 据 理 论 源 于 20 世 纪 60 年 代 美 国 哈 弗 大 学 的 数 学 家 A.P.Dempster利用上、下概率来解决多值映射问题方面的研 究工作。后来他的学生G.Shafer对证据理论做了进一步的发 展和推广完善，引入了信任函数概念，形成了一套利用证据 和组合来处理不确定性推理问题的数学方法。它作为一种不
表一个命题。
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2 证据理论基础
证据理论是建立在识别框架基础上的推理模型，其 基本思路如下：
a) 建立识别框架。利用集合论方法来研究命题；
b) 建立初始信任分配。根据证据提供的信息，分配证据对每一集合 （命题）A本身的支持程度，该支持程度不能再细分给A的真子集。 c) 根据因果关系，计算所有命题的信任度。一个命题的信任度等于 证据对它的所有前提的初始信任度之和。这是因为，若证据支持一个命 题，则他同样支持该命题的推论。 d) 证据合成。利用证据理论合成公式融合多个证据提供的信息，得 到各命题融合后的信任度。 e) 根据融合后的信任度进行决策，一般选择信任度最大的命题。
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2 证据理论基础——信任度函数
定义2:
信任度函数：集合A是识别框架Θ的任一子集，A中全部
子集对应的基本置信度之和称为信任函数Bel(A)，即
Bel：2 Θ →[0，1]
其中，Bel(A)成为事件A的信任值，它表示证据对A为真的
信任程度；空集的信任值为0。
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2 证据理论基础
（1) 识别框架（续2） 由识别框架中所有子集构成的一个有限集合
称为Θ的幂集合，记作
2 {,{1},{2}, ,{1,2},{1,3},{1,2 ,3} , }
(2-2 )
其中φ表示空集。
识别框架的任一子集A都对应于一个命题，
B
(1) (1)
i
{i }
(1)
i j
{i , j }

(1)
A
n n n 0 1 2 (1 (1)) n 0
n (1) n n
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B A
(1) 0 多源测试信息融合
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
定义1:设Θ为一识别框架，函数m是2Θ→[0,1]的映射，A为 2Θ任一子集，记作
A 2，且满足：
m() 0 m( A) 1 A 2
(2-3)
则称m是2Θ上的基本置信度分配函数，也称为质量 函数或mass函数。m(A) 为命题A的基本置信度指派值， 表示证据对A的信任程度，空集φ的基本信任分配值为0。
确定性推理方法，正受到越来越多的关注。称为（D-S）证
据理论和信任函数理论。
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2 证据理论基础
（1) 识别框架
假设现有一个判决问题，对于该问题我们所能 认识到的所有可能答案的集合用Θ表示，且Θ中的所 有元素都满足两两互斥；任一时刻的问题答案只能 取Θ中的某一子集，答案可以是数值变量，也可以 是非数值变量，则称此互不相容命题的完备集合Θ 为识别框架，可表示为： (2-1) 其中θi为识别框架的一个元素或事件。
2 证据理论基础——基本置信度指派函数 基本置信度指派函数相关的几个定义（2）
焦元中所包含识别框架中的元素个数称为该焦元 的基，记作 |A|。 当子集A中中包含i个元素时，即 |A|=i，称为 i元素焦元。
核就是识别框 架的幂集2Θ吗?

(1)
B
D ( A B )

(1)
D
根据引理2.1，可证。
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2 证据理论基础——似真度函数
定义3：
似真度函数：设识别框架Θ ，幂集2 Θ→[0,1]映射，A为
识别框架内的任一子集，似真度函数Pl(A)定义为对A的非假
信任度，即对A似乎可能成立的不确定性度
则称为弱信任度函数。
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2 证据理论基础——信任度函数
例3：同例2，已知： m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1
m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2，
m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.1 求.Bel({A1})和Bel({A1,A2})的信任度值. 解：根据题意，可得 Bel({A1}) = m({A1}) =0.3 Bel({A1,A2})=m({A1})+m({A2})+m({A1,A2})=0.5.
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{1 ,2 ,
,n }
2 证据理论基础
（1) 识别框架（续1）
集合Θ的选取问题——识别框架的选取
集合Θ的选取依赖于我们的认识水平和知识结构,包含我 们所知道的和想要知道的。当一个命题对应于该识别框架的 一个子集时，称该框架能够识别该命题，否则认为识别框架 是无效的。因此， Θ的选取应当足够的丰富，使我们所考虑 的任何特定的命题集都可以对应于Θ的某一集类R，（Θ,R ） 称为命题空间。当Θ中含有N个元素时，R中最多有2N个子集。 需要说明的是，集合Θ可以为有限集也可以为无限集。本课 程只讨论有限集。
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2 证据理论基础——信任度函数
引理1: 假设A是一个有限集合，则下式成 立 1 A
(1) B A 0 其它
B
•证明：令 A , , , 是一个有限的非空集 合，其中n为正整数，则有
1 2 n
B A
(1)
相应命题A的精确信任程度，但却不知道这部分信任度该分给A中
的哪些元素； （3）当A=Θ时，m(A)是对Θ的各个子集进行信任分配后剩下 的部分，它表示不知道该如何对它进行分配。
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2 证据理论基础——基本置信度指派函数
例2： 泄漏诊断时，设识别框架Θ={A1，A2，A3}，A1 表示“发生大泄漏”，A2表示“发生小泄漏”，A3表 示无泄漏，基本置信度指派分别为 m(φ)=0，m({A1})=0.3，m({A2})=0，m({A3})=0.1 m({A1，A2})=0.2，m({A1，A3})=0.2，
2 证据理论基础——信任度函数
信任度函数表示对假设的信任程度的下限估 计。由信任度分配函数的定义容易得到：
Bel() M () 0 Bel()
B
M ( B) 1
如果对于Θ中的任意两个子集A1,A2，满足：
Bel(A1 A2 ) Bel(A1 ) Bel(A2 ) Bel(A1 A2 )
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1 引言
必要性解释：则认为概率是测量一个命题推出另一个命题
程度的量，这个量由两个命题之间的逻辑关系完全决定，与个
人的偏好无任何关系，又称为逻辑主义解释。
Shafer指出以上三种概率的解释都没有涉及概率推断的构造
特征，因此， Shafer提出了对概率的第四种解释——构造性解
Pl ( A)
B A
A
，此时有：

m( B) 1 Bel ( A)
Pl(A) 表示A为非假的信任程度，A的上限估计，且Bel(A) ≤
Pl(A) ；Bel(Ā) 表示对A为假的信任程度，即对A的怀疑程度。
的。
随机性和模糊性是客观的不确定性，认识的不确定性是主观的不确 定性。
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1 引言 概率的解释
证据理论出现以前，概率的解释主要有客观 解释，个人主义解释及必要性解释。 客观解释概率：认为概率描述了一个可以重 复出现事件的客观事实，用试验次数趋于无穷时， 该事件发生的频率的极限来刻划。 个人主义解释：认为概率反映了个人的某种 偏好，它根据某个人在赌博中或其他带有不确定 性结果的事件中所表现出来的行为来推算。
一般可描述为“问题的答案在A中”。
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2 证据理论基础
•例1:
以掷骰子为例，要判断其可能所出现的点数，则识别 框架Θ={1,2,3,4,5,6}，而{1}则表示“掷出的点数为1”，则 {2,4,6}表示“掷出的点数为偶数”，{1,2,3,4,5}则表示 “掷出的点数不为6”，即“掷出的点数为1, 2, 3, 4, 5中 的某一个”。由此可见，幂集合中的每一个子集A都代
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2 证据理论基础——基本置信度指派函数 基本置信度指派函数相关的几个定义（1）
对于识别框架的任一子集A，只要满足 m(A)>0，则称A为证据的焦元。
证据的焦元和它的基本置信度指派构成的
二元体(A, m(A))称为证据体,证据是由若干证据
体组成。
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B
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2 证据理论基础——信任函数
引理2.2: 若A是有限集，且 B A ，则：
A ( 1) C ( 1) B C A 0
A B 其它
(1)
BD
证明：

B C A

(1) (1)
BD
C
B (B D) A

D ( A B )
(3)要求统一的识别框架，不能实现不同层次
的组合；
(4)不能区分“不确定”和“不知道”。
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1 引言
不确定性分类 不确定性可以分为随机性、模糊性和认识不确定性三种。 随机性：在自然界中客观存在，可根据历史资料得到的统计数字来 描述，常用概率论和数理统计来解决这方面问题。 模糊性：通常指发生在概念上的模糊，如大、中、小界限的模糊等。 模糊理论是处理此问题的有力工具。 认识的不确定性：是由于人们认识水平的局限以及知识缺乏所造成
证据理论基础（1）
第五讲
主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
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主要内容
•引言 •证据理论基础 •证据理论研究现状 •未来研究方向
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1 引言
主观贝叶斯理论的缺点： (1)要求概率（各证据之间）都是独立的； (2)要求先验概率和条件概率；
m({A2，A3})=0.1，m({A1，A2，A3})=0.1
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返例 3 20
2 证据理论基础——基本置信度指派函数
当A ={A1}时，m(A)=0.3，它表示对命题“答案是大泄漏”的 精确信任度为0.3。
当A ={A1，A2}时，m(A)=0.2，它表示对命题“答案或是大
泄漏，或是小泄漏”的精确信任度为0.2，但却不知道该把这0.2分 给{大泄漏}还是分给{小泄漏}。 当A ={A1，A2，A3}时，m(A)=0.1，它表示不知道该把它如 何分配；它不属于{A1}，就属于{A2}或{A3}，只是基于现有的知
识，还不知道该如何进行分配。
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