初中数学——数学思维方式

课程名称（或专题）：

思维方式的启发-------数学学习方法介绍

课程目的：

向学生介绍一些数学学习方法，让学生对数学产生兴趣。

课程安排：

引入：学数学需要勤奋+方法。下面介绍的是一些大家不常用数学思维方式，这些思维方式在解决数学问题，乃至生活中的问题时，很有用，所以大家在以后要下意识地培养自己这些方面的能力。

1退一步海阔天空

故事：有位老师，事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让3个学生看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。为什么呢？

解答：为了解决上面的问题，我们可以先把问题简化，即“退一步”，先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”的问题。因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会（说明他看到我戴了白帽，而白帽又有两顶，所以他不确定自己到底是哪种帽子），可见我戴的是白帽。

这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。

这样，如果我们看到更复杂的“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”这种题，运用同样的方法，便可迎刃而解。

所以这告诉我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。

2学会逆向思维

问题：甲、乙、丙三堆火柴按如下方式挪动：先由甲堆中取出火柴，按乙、丙两堆中的火柴数目放入甲、丙两堆，最后由丙堆中取出火柴按甲、乙两堆中的火柴数目放入甲、乙两堆，经过这样挪动之后，三堆火柴都是8根，问各堆原有火柴几根？

解答：按照挪动顺序我们很难解出，因为我们不知道初始情形（这正是要求的结果），但是由于知道最后的都是8根，可以把问题倒过来推出初始情形

根据最后的结果都是8根，并且由甲乙两堆挪动，可知挪动前甲乙两堆火柴数只能是现在数的一半，即4根，所以丙有16根，由此可知，在第二次挪动前，甲有2根，乙有14根，丙有8根，而最初甲乙丙分别为13、7、4根，解法可列出下表：

甲乙丙

第三次挪动后8 8 8

第二次挪动后 4 4 16

第一次挪动后 2 14 8

原有13 7 4

这个题目启发我们要倒过来想问题，如果纯粹地按部就班，先假设原有的可能的一种情

况，然后从第一步到第三部，看最后结果是不是三堆都是8个，这种巧合很难发生。

3充分发挥想象力

故事：据说有一个小偷偷了一位农民的东西，被当场捉获，并将其送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子.于是，在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押.县官将纸条交给执事官由他去办理.聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起.然后向大家宣布：根据县太爷的命令，放掉农民，关押小偷.县官听了大怒，责问执事官.执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错.仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复.一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役.执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色.县官的毒计落空了。（讲这个故事时要做出来模型，这样更直观，这个环就是著名的莫比乌斯带

这个带很好玩，很值得深入讲解，可以另作为一堂课，见备注）启示：如果你是这个执事官，你能不能想到把纸带扭过来？

4 把语文用于数学（其实不仅仅是语文了，别的学科都可以）

语文好不仅有助于我们理解题目的意思，还可以帮助我们记忆一些很难的内容。

故事：从前有一位很有学问、记忆力很好的教书先生，喜欢饮酒。他常常跑到山上的寺庙找和尚一起对饮，一边喝酒，一边谈天说地。一次，和尚想考考这位先生的学问和记忆力，就要这位先生背诵一遍圆周率，背到小数点后22位，然后对先生说：“我再念上三遍，你如果能马上背出来，我愿意罚酒三十杯。”这圆周率可不是一般的数，它的小数点后面的数字无穷无尽而且排列得毫无规律，一般人是不容易背出来的，何况和尚只念三遍。但是，这位聪明的先生想出了一个高招，很快就背出来了，原来，他根据读音相近的特点，听和尚念第二遍时，就编了一首歌谣：“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。”

这样，当和尚念第三遍时，他很快就记住了3.1415926535897932384626这一长串复杂的数字。这个和尚听了，惊奇得连连赞叹先生记忆超人，确实非凡，只好连饮三十杯酒。

山巅一寺一壶酒(3.14159), 尔乐苦杀吾(26535), 把酒吃(897), 酒杀尔(932), 杀不死(384) 乐尔乐(626)

所需道具：

如果讲莫比乌斯圈则要准备纸圈和剪刀。

备注：

莫比乌斯带：

公元1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。

它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：

如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？

这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：

可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的“莫比乌斯带”。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。

回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已