高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)

5 5 |PR| 综上所述，|PQ|的取值范围是1，3∪3，3.
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题型二
【例 2】
圆锥曲线中的定点、定值问题
3 已知椭圆 C 经过点 A1，2，
思维启迪
解析
探究提高
两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．
圆锥曲线中的最值问题解决方 法一般分两种： 一是几何法， 特 别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来求最值； 二是 代数法， 常将圆锥曲线的最值问 题转化为二次函数或三角函数 的最值问题， 然后利用基本不等 式、 函数的单调性或三角函数的 有界性等求最值．
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
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3 3 1＋ 2>1，且 1＋ 2≠2， m m 2 所以 1<1＋ <3，且 1＋ 3 2 1＋m2－1 2
此时
5 ≠3， 3 1＋m2－1
2
|PR| xR |PR| xR 5 所以 1< ＝ <3，且 ＝ ≠ . |PQ| xQ |PQ| xQ 3
2 2 2 ＝x1 ＋x2 2＋y1＋y2－2(x1x2＋y1y2)
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
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12 1 ＝λ＋λ ＋4λ＋λ －12
1 ＝λ＋λ＋22－16，
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
1 1 1 5 10 λ∈3，2，λ＋ λ ∈2， 3 ，
消去 y，可得 3x2－2mx－m2－4＝0.(*) 对于方程(*)， 其判别式 Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48>0， 而当 1 或－1 为方程(*)的根时，m 的值为－1 或 1. 结合题设(m>0)可知，m>0 且 m≠1.
设 Q、R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)， 则 xQ，xR 为方程(*)的两根． m－2 m2＋3 因为|PQ|<|PR|，所以|xQ|<|xR|，xQ＝ ， 3 m＋2 m2＋3 xR＝ . 3 3 2 1＋m2＋1 |PR| xR 2 所以 ＝x ＝ ＝1＋ . |PQ| Q 3 3 2 1＋m2－1 2 1＋m2－1
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．
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要点梳理
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
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【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
数学
R A（文）
专题五 圆锥曲线的综合问题
第九章 解析几何
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要点梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 从几何角度看，可分为三类：无公共 点， 仅有一个公共点及有两个相异的公共 点． (2) 从代数角度看，可通过将表示直线的 方程代入二次曲线的方程消元后所得一 元二次方程解的情况来判断． 设直线 l 的 方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ，圆锥曲线方程 f(x，y)＝0. Ax＋By＋C＝0 由 ，消元 fx，y＝0
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题型二
【例 2】
圆锥曲线中的定点、定值问题
3 已知椭圆 C 经过点 A1，2，
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解析
探究提高
两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．
(1) 可利用向量共线证明直线 MQ 过 F；(2)建立|PQ|和 λ 的 关系，然后求最值．
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
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【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率， 通过推理计算消参．
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题型二
【例 2】
圆锥曲线中的定点、定值问题
3 已知椭圆 C 经过点 A1，2，
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解析
探究提高
两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．
由题意，c＝1，可设椭圆 x2 y2 方程为 ＋ 2＝1. 1＋b2 b 1 9 因为 A 在椭圆上， 所以 ＋ 2 1＋b2 4b 3 2 2 ＝1，解得 b ＝3，b ＝－ (舍去)， 4 2 2 x y 所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3 (2)证明 设直线 AE 的方程为 y＝ 3 k(x－1)＋ ， 2
→ ＝(1－x ， ∴MF λy2) 1 y1)＝(1－λ， 1 →， ＝λ λ－1，y2＝λFQ ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦
点 F. 1 (2)解 由(1)知 x2＝ λ ，x1＝λ，
2 2 得 x1x2＝1， y1 · y2＝16x1x2＝16，
∵y1y2>0，∴y1y2＝4， 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
此时， MA 的斜率为 ， MB 的斜率为 . x＋1 x－1 y y 由题意，有 · ＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0. x＋1 x－1
故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1 且 x≠－1)．
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y＝x＋m， (2)由 2 2 4x －y －4＝0
如消去 y 后得 ax ＋bx＋c＝0. ①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直 线 l 与双曲线的渐近线平行或重合；当 圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线 的对称轴平行或重合． ②若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.
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要点梳理
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
2 1 ＋ k |x1－x2| 或|P P |＝ ＝ 1 2 1 1＋k2|y1－y2| .
难点正本 疑点清源
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “ 点差法 ” 具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否 成立．
(2)当斜率 k 不存在时， 可求出交点坐标， 直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
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【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
F(1,0)，
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题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
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【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
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3．圆锥曲线的中点弦问题 遇 到 中 点弦 问题 常 用 “ 根与 系 数 的关 x 2 y2 系”或“点差法”求解． 在椭圆 2＋ 2＝ a b 1 中， 以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的 b 2x 0 x 2 y2 斜率 k＝－ 2 ；在双曲线 2－ 2＝1 中， a y0 a b 以 P ( x 0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 k b2x0 ＝ 2 ；在抛物线 y2＝ 2px (p>0)中，以 a y0 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝ p . y0
(1)证明
设 P(x1，y1)，Q(x2，
y2)，M(x1，－y1)． → ＝ λ AQ → ， ∴x ＋ 1 ＝ λ(x ＋ ∵ AP 1 2
1)，y1＝λy2， 2 2 2 ∴y1 ＝λ2y2 2，y1＝4x1，y2＝4x2， x1＝λ2x2，
∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)， λx2(λ－1)＝λ－1， 1 ∵λ≠1 ， ∴x2 ＝ λ ， x1 ＝ λ ，又
变式训练 1
(2012· 四川 ) 如图，动点 M 与两
A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线 MA、MB 率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C.
(1)求轨迹 C 的方程．(2)设直线 y＝x＋m(m>0)与 解 (1)设 M 的坐标为(x，y)，当 x＝－1 时，直线 MA 的斜率不存在； |PR| 当 x＝1 时，直线 MB 的斜率不存在．于是 x≠ 1 且|<| x≠PR －1.|.求 与轨迹 C 相交于点 Q，R，且 |PQ 的 |PQ| y y
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2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “ 点差法 ”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否 成立．
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基础自测
题号
1 2 3 4
答案
8
解析
4x－y－7＝0
B
B
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难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
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2
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．