离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
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例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
5
例5.1设A＝{x|x＝ 2n，n∈N}，问
在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢? 解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
6
➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
元。 ➢代数系统的定义及其性质。
3
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
4
如何判断一个运算是否为集合S 上的
二元运算
1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
8
➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
• 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元，
没有可逆元素。
28
5.3节 代数系统
➢ 定义5.10 设S是非空集合，由S和S上若干
个运算
构成的系统称为代数系统，
记作
代数系统也简称为代数。
例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算，
M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
29
➢ 定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
30
➢ 定义5.12 设
31
例5.11 设
32
➢ 定义5.13 设 定义5.14 设
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
9
➢定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有(x*y)*z＝x*(y*z)，则称该二元 运算*是可结合的，或者说运算*在A 上适合结合律。
例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则
11
➢定义5.5 设。和*是S上的两个二元运
算，如果对任意的
有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有
即乘法对加法是可分配的。
12
➢定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有
则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定
又存在关于运算的右幺元 er 则S中必存在关于运算*的幺元e并且
19
2. 零元 ➢定义5.8 设*是S上的二元运算，
20
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
21
➢ 定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。
所以零元是唯一的。
22
➢定理5.4 设 *是S上的二元运算，如 果S中既存在关于运算*的左零元l 又 存在关于运算*的右零元 r
“+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取
而 运算“。”不满足结合律
10
➢定义5.4 设*是定义在集合A上的一个 二元运算，如果对于任意的x∈A，都 有x*x＝x，则称运算*是等幂的。 例5.4 设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上 定义的两个二元运算，集合的“并”运 算∪和集合的“交”运算∩，验证∪， ∩是等幂的。 解： 对于任意的A∈P(S)， 有A∪A＝A和A∩A＝A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
26
➢ 定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元,如果S中元素x既存在关于运算*的左 逆元 yl ，又存在关于运算*的右逆元 yr， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
27
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
第三部分 代数结构
1
第五章 代数系统
代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。
代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
2
➢本部分主要内容 ➢二元运算及其性质。 ➢二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
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17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
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例5.1设A＝{x|x＝ 2n，n∈N}，问
在集合A上通常的乘法运算是否封闭， 对加法运算呢? 解：对于任意的
所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有
6
➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
元。 ➢代数系统的定义及其性质。
3
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
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如何判断一个运算是否为集合S 上的
二元运算
1 唯一性 集合S中任意的两个元素都能进行这种运 算，并且结果要是唯一的。
在整数集合 Z上，对任意两个整数所进
行的普通加法和乘法，都是集合上的二 元运算。
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➢定义5.2 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x,y∈A，都有 x*y＝y*x，则称该二元运算*是可交 换的。
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元，
• 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，
不适合消去律。没有单位元，没有零元，
没有可逆元素。
28
5.3节 代数系统
➢ 定义5.10 设S是非空集合，由S和S上若干
个运算
构成的系统称为代数系统，
记作
代数系统也简称为代数。
例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算，
M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法 运算，
29
➢ 定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数， 则称
30
➢ 定义5.12 设
31
例5.11 设
32
➢ 定义5.13 设 定义5.14 设
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
9
➢定义5.3 设*是定义在集合A上的二元 运算，如果对于任意的x，y，z∈A， 都有(x*y)*z＝x*(y*z)，则称该二元 运算*是可结合的，或者说运算*在A 上适合结合律。
例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则
11
➢定义5.5 设。和*是S上的两个二元运
算，如果对任意的
有
例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有
即乘法对加法是可分配的。
12
➢定义5.6 设。和*是定义在集合A上的 两个可交换二元运算，如果对于任意 的x，y∈A，都有
则称。运算和*满足吸收律 例5.6 设集合N为自然数全体，在N上定
又存在关于运算的右幺元 er 则S中必存在关于运算*的幺元e并且
19
2. 零元 ➢定义5.8 设*是S上的二元运算，
20
在自然数集N上普通乘法的零元是0，而 加法没有零元。
21
➢ 定理5.3 设 *是S上的二元运算，如果S中 存在（关于运算*的）零元，则必是唯一的。
所以零元是唯一的。
22
➢定理5.4 设 *是S上的二元运算，如 果S中既存在关于运算*的左零元l 又 存在关于运算*的右零元 r
“+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取
而 运算“。”不满足结合律
10
➢定义5.4 设*是定义在集合A上的一个 二元运算，如果对于任意的x∈A，都 有x*x＝x，则称运算*是等幂的。 例5.4 设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上 定义的两个二元运算，集合的“并”运 算∪和集合的“交”运算∩，验证∪， ∩是等幂的。 解： 对于任意的A∈P(S)， 有A∪A＝A和A∩A＝A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
26
➢ 定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为 幺元,如果S中元素x既存在关于运算*的左 逆元 yl ，又存在关于运算*的右逆元 yr， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且
27
解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适 合幂等律。单位元是a，没有零元，且
运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消
第三部分 代数结构
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第五章 代数系统
代数结构又称为代数系统，简称代数，是 抽象代数的主要研究对象。
代数系统的种类很多，它们在计算机科学 的自动机理论、编码理论、形式语言、时 序线路、开关线路计数问题以及计算机网 络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算 机理论科学等方面有着非常广泛的应用。
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➢本部分主要内容 ➢二元运算及其性质。 ➢二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆