铰链四连杆机构的运动学

铰链四连杆机构的运动学

1. 连杆的位置和速度

研究如图所示的机构。当角度θ1和θ2给定时，θ3和θ4由下式给出：

L 2cos θ2+L 3cos θ3-L 4cos θ4-L 1cos θ1=0

L 2sin θ2+L 3sin θ3-L 4sin θ4-L 1sin θ1=0 （1）

为方便起见，令θ1=0。如果连杆２的角速度给定，则连杆３和连杆４的角速度分别是：

ω3=

)

sin()sin(4333422θθθθω--L L ω４=

)

sin()sin(3443222θθθθω--L L

其中θ3，θ4由公式（1）得到。连杆2端部的线速度是Ｖ2=Ｌ2ω2，连杆端部的线速度 是：

Ｖ４=Ｌ4ω4=Ｖ2

)

sin()sin(3432θθθθ--

每一速度在角速度ωj 的方向上分别垂直于杆Ｌj 。

连杆3和连杆4的角加速度是：

a 3=

)

sin()cos()cos()sin(4332

4

4342

33242

222422θθωθθωθθωθθ---+-+--L L L L a L

a 4=)

sin()cos()cos()sin(4342

3

3432

44232

222322θθωθθωθθωθθ---+---L L L L a L

用代数求解法可以从式（1）直接获得θ3和θ4的表达式，但很烦琐。应该使用fsolve 函数来求解。

例 铰链四杆机构的位置、速度和加速度的图形化表示

在L 1=0.8，L 2=2，L 3=2,L 4=3的情况下，画出连杆3的方向，在另一幅图绘出速度比V 4/V 2

和ω2=4 rad/s 及2α=5 rad/s 2

时的加速度4α。首先创建函数FourBarPosition ，函数fsolve 通过它确定θ3和θ4。这样，

function t=FourBarposition(th,th2,L2,L3,L4,L1) t=[L2*cos(th2)+L3*cos(th(1))-L4*cos(th(2))-L1；… L2*sin(th2)+L3*sin(th(1))-L4*sin(th(2))]； 其中th(1)=θ3,th=θ4。

显示连杆3的位置、连杆4的端部速度和加速度的程序如下：

L2=.8；L3=2；L4=2；L1=3；th1=0；

th2=[1/6：1/6：2]*pi；

th34=zeros(length(th2),2)；

options=optimset(ˊdisplayˊ, ˊ0ffˊ)；

for m=1:length(th2)

th34(m,:)=fsolve(ˊFourBarPositionˊ,[55],options,ths(m),L2,L3,L4,L1)；

end

y=L2*sin(th2)+L3*sin(th34(:,1)ˊ1)；

x=L2*cos(th2)+L3*cos(th34(:,1)ˊ1)；

xx=[L2*cos(th2)]；

yy=[L2*sin(th2)]；

figure(1)

plot([x；xx],[y；yy],ˊKˊ,[0 L1],[0 0],ˊK--ˆˊ,x,y,ˊkoˊ,xx,yy,ˊksˊ) title(ˊSeveral positions of the connecting link of a four-bar mechanismˊ) xlabel(ˊHorizontal positionˊ)

ylabel(ˊVertical positionˊ)

axis equal

th2=[0:05:2]*pi；

th34=zeros(length(th2),2)；

for m=1:length(th2)

th34(m,:)=fsolve(ˊFour BarPositionˊ,[5,5],options,th2(m),L2,L3,L4,L1)；

end

figure(2)

y=sin(th2-th34(:,1)ˊ)./sin(th34(:,2)ˊ-th34(:,1)ˊ)；

plot(180*th2/pi,y)

v=axis；

v(2)=360；

axis(v)

xlable(ˊ\theta_2(degrees)ˊ)

ylabel(ˊV_4/V_2ˊ)

title(ˊVelocity ratio of tip of link #4ˊ)

w2=4；alph2=5；

w3=(L2*w2*sin(th34(:,2)-th2ˊ))./(L3*sin(th34(:,1)-th34(:,2)))；

w4=(L2*w2*sin(th2ˊ-th34(:,1)))./(L4*sin(th34(:,2)-th34(:,1)))；

s32=th34(:,1)-th2ˊ；

s34=th34(:,1)-th34(:,2)；

alph4=(L2*alph2*sin(s32)-L2*w2ˆ2*cos(s32)+L4*w4.ˆ2.*cos(s34)-…

L3*W3.ˆ2)./(L4*sin(s34))；

figure(3)

plot(180*th2/pi,alph4)

v=axis；

v(2)=360；

axis(v)

xlabel(ˊ\theta_2(degrees)ˊ)

ylabel(ˊ\alpha_4ˊ)

title(ˊAngular acceleration of link # 4ˊ)

2 铰链四杆机构的综合（实现三个连杆精确点）

铰链四杆机构综合的目标之一是确定连杆的长度，使连杆上选定的点通过三个规定的点。研究如图所示的机构。目标是确定长度Z k及其初始方向，以使点P通过点P1、P2和P3。假设点P1在坐标系的原点处，使R1=0。