线性代数期末考试复习资料PPT课件

则方程组有向量形式 x 11 x 22 x nn b 7
2.2 向量的线性关系
定义2.4 设有同维向量1,2, ,n,，如果存在
一组数 k1,k2, ,kn ，使得 k 11 k 22 k nn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2, ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2, ,n 的线性组合。
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
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如 果 向 量 组 1,2 s中 的 每 一 个 向 量 都 可 以 由 向 量 组 1,2, r线 性 表 示 ,则 称 向 量 组 1, 2 s可 以 由 向 量 组 1,2, r线 性 表 示 .
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
D a i1 a i2
a in D1 kai1 kai 2
kain k D
a n1 a n 2
a nn
an1 an 2
ann
推论1 :行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以
提到行列式符号的外面。
推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则 D=0 推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则
向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关， 则部分无关。 4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向 量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则 低维相关。
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推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推 论 2 .2 m 个 n 维 向 量 线 性 无 关 的 充 要 条 件 是 由 它 们 组 成 的 m n 矩 阵 的 秩 为 m ( m n ) .
D=0
推论4： 设 A 为 n 阶 方 阵 ， 则 A nA 。 15
行的运算
交换i, j两行 数乘第 i 行
ri r j k ri
变号 K倍
row
数乘第 i行 加到第 j 行
rj kri
等值
列的运算
交换i, j两列 数乘第 i 列
ci c j 变号
k ci
K倍
column
数乘第 i 列 加到第 j 列
c j k ci 等值
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定理1.7
A 设 A 是n 阶矩阵， * 为其转置伴随矩阵，则有 AA*A*A AI
定理1.8 设A为方阵。如果 A 0 则A可逆（非奇异、非
退化）矩阵，且
推论1.5
A11A， A1 1（ 要 求 证 明 ）
A
A
若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且
D不等于零，则该方程组有唯一零解，即若有非零解，
则系数行列式D等于零。
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定理1.7
A11
A
A12
A21 A22
An1 An2
A﹡重要公式
AA AA A 证明
AA
源自文库
A1n A2n Ann
a11 a21
a12 a22
a1nA11 a2nA12
1
2
3
4
5
6
●线性方程组的向量表达式
线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
（1）
a1 j
若记
j
a2
j
amj
( j 1, 2,
, n)
j 即为系数矩阵的第 j 列
全为零时，k 11 k22 knn O 才成立，则称向量组
1， 2，， n 线性无关。
●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。
因为 1 O 0 1 0 2 0 n O
●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。
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小结：
（1）向量组 1,2, ,n 线性相关
齐次线性方程组
x 11 x 22 x nn 0有非零解
可由向量组1， 2，， n
线性表示
线性方程组
x 11x22xnn有解
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定义2.5
设有向量组1， 2，， n ，如果存在一组不全为零的数
k1,k2, ,kn ，使得 k 11 k 22 k nn o成立，则称
向量组 1， 2，， n 线性相关，否则，称向量组 1， 2，， n 线性无关。即当且仅当 k1,k2, ,kn
定 义 2 . 9 : 如 果 向 量 组 1 ,2 s与 向 量 组 1 ,2 , r
可 以 互 相 线 性 表 示 , 则 称 这 两 个 向 量 组 等 价 .
引 理 2.1:(1)设 向 量 组 1,2 s可 以 由 向 量 组 1,2, r 线 性 表 示 ,如 果 s>r,则 1,2 s线 性 相 关 .
（2） 向量组 1,2, ,n 线性无关
齐次线性方程组
x 11 x 22 x nn 0只有零解
(3) 向量 可由向量组 1,2, ,n 线性表示
线性方程组 x 11x22xnn有解
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●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。 2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变
特殊 行列式 的计算
a 11
a11
a11 a22 ann
a11 a1n
a nn
an1 ann
an1
a1n
a1n a11
a1n
a n1
an1 ann an1
n(n1)
(1) 2 a1na2,n1 an1
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性质1.8 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一 数 k， 等于用数 k 乘此行列式 。
例2 设 1 （ 1 ， 2 ， 1 ） ， 2 （ 2 , 3 , 6 ） , = （ 5 , 8 , 1 3 ） ，
判断向量
能否由向量组
，
1
2
线性表示？如果可以，求出
表达式。
解 设 k11k22
小结：
则 所以
k1 2k2 5 2k1 3k2 8 k1 6k2 13
kk12
1 2
122
(2)两 个 等 价 的 向 量 组 秩 相 等 .
用矩阵的初等行变换来解线性方程组，实际上，将矩阵的初 等行变换对比行列式的性质，有：矩阵的初等行变换并不改 变矩阵的秩，因此，可以将矩阵先化成行阶梯型矩阵，就可较 快求出矩阵的秩。
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说明：1） 其 中 表 示 对 所 有 n 阶 排 列 求 和 ， 共 有 n ！ 项 ； j 1jn 2） 对 应 于 方 阵 A 的 行 列 式 记 为 A 或 d e t （ A ） ；