第5章 结构优化的灵敏度分析

3
5.1 引言
例子：25杆输电铁塔
响应：节点1,2的位移 u
设计变量：x1 , x2 , x3 ,..., x25 结构自由度数为30
1
, u2
4
5.2 静态灵敏度分析
以静态灵敏度分析为例，静力学有限元平衡方程为：
K (x)u(x) R
响应：uj,j,j
尺寸优化：杆梁的横截面参数、壳的厚度、弹性和质量属性
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5.3 动态（频率）灵敏度分析
结构振动的有限元方程（特征值方程）：
(K i2 M )ui 0
特征值向量ui是关于质量矩阵M正则化
T i
(1)
u Mu i 1
(2)
将(1)式对设计变量求xk导数，得
i u i K 2 M 2 ( )u i (K i M ) 2i 0 M i xk xk xk xk
Q1 [1, 0, 0,..., 0]T
Q1 为20个元素的列向量，第1个元素为1，其余都为0
Q 2 [0,1, 0,..., 0]T
Q 2 为20个元素的列向量，第2个元素为1，其余都为0
T K u1 的灵敏度 u1 u1 u
xi
xi
Ku1 Q1
N r 为响应的个数
分解次数
4.2.
K xi
K ej
j 0
nc
xi

j 0
nc
K ej xi

j 0
nc
(Te )T K ij Te xi
(Te )T
j 0
nc
K ij xi
Te
4.1 式每个杆单元独享一个设计变量 4.2 式 nc个杆单元共享一个设计变量，也叫组件灵敏度分析，更贴近工程
9
5.2.2 直接解析法
例子：刚度矩阵组装的动画
10
5.2.3 伴随变量法
伴随变量法 (adjoint variable method) 静力学分析中，位移、应力的第j个响应 g j 可以表达为位移向量 的函数 g j Q j u
T
u
响应
gi 对第i个设计变量 x 的偏导数为 i
g j xi Q Tj xi
分解次数
计算量
回带次数
Nv 1
Nv 1
N v 为设计变量个数
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5.2.2 直接解析法
对平衡方程两边关于设计变量 得
xi 求导，
K (x)u(x) R
K u R uK xi xi xi
当外载荷R不随设计变量改变时，得到位移灵敏度的解析公式
u K K u xi xi
2
5.1 引言
推荐参考文献：
AN INTEGRATED APPROACH FOR TOPOLOGY, SIZING AND SHAPE OPTIMIZATION M. Zhou, N. Pagaldipti, H.L. Thomas and Y.K. Shyy Altair Engineering, Inc. zhou@altair.com
车辆结构优化设计
左文杰
研究方向：结构优化设计 车身结构轻量化 专用CAE软件开发
吉林大学 机械学院 信箱：zuowenjie@jlu.edu.cn
1
第5章 结构优化的灵敏度分析
5.1 引言 5.2 静态灵敏度分析 5.2.1 差分法 5.2.2 直接解析法 5.2.3 伴随变量法 5.2.4 半解析法 5.3 动态（频率）灵敏度分析 5.4 车身扭转刚度灵敏度分析 5.5 车身弯曲刚度灵敏度分析 5.6 车身动刚度灵敏度分析 5.7 轿车车身灵敏度分析例子 5.8 客车车身灵敏度分析例子 5.9 板壳单元结构灵敏度分析 5.10 Optistruct灵敏度分析
设计变量x =
形状优化：节点位置 拓扑优化：密度，弹性模量等
5
5.2 静态灵敏度分析
前奏：平方根法求解对称正定矩阵方程组Ku=R的计算量
一、三角分解计算
K LLT
二、回带计算
LLT u R
3 计算量为 n / 6
n 结构自由度数
计算量为 n
2
n 结构自由度数
6
5.2.1 差分法
绝对灵敏度
需重新求解1次有限元方程Ku=R
u u( xi xi ) u( xi ) xi xi
相对灵敏度 u (u( xi xi ) u( xi )) u( xi ) xi xi xi 原则：根据设计变量的量纲来选择不同的差分灵敏度分析方法。量纲
一样选取绝对灵敏度分析方法；量纲不同选取相对灵敏度分析方法。
Q Tj xi
uQ
T j
u xi
K u xi
将K
u K u 代入上式，得 xi xi
g
j
xi
其中 向量

u u Tj
Ku j Q j
uj与
Q j 分别定义为伴随位移与伴随载荷。
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5.2.3 伴随变量法
伴随变量法算例：25杆铁塔的位移灵敏度分析
25杆桁架算例的伴随载荷为
=0
=0
(3)
用 u i 左乘(3)式，并利用(1)式，得到频率灵敏度公式
T
i 1 T K 2 M ui ( i )ui xk 2i xk xk
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5.4 车身扭转刚度灵敏度分析
5.4.1 车身扭转（Torsional）刚度定义
Wei Chen, Wenjie Zuo*. Component sensitivity analysis of conceptual vehicle body for lightweight design under static and dynamic stiffness 15 demands. International Journal of Vehicle Design, 2014.
1
Nr
伴随变量法计算量
回带次数
当设计变量的个数远大于响应的个数时，采用该方法。
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5.2.4 半解析法
K K ( xi xi ) K ( xi ) xi xi
适用于形状优化：因为形状优化中刚度矩阵关于节点坐标 的偏导数计算较为繁琐。
Optistruct的HyperMorph工具处理形状优化。Shape perturbation vectors can be created using HyperMorph.
计算量
分解次数 1 回带次数 N v
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N v 为设计变量个数
5.2.2 直接解析法
K 例子： x 计算，以桁架为例。
i
1. 2.
Ex 1 1 K 1 1 l
e
,
x为杆单元截面积
K e (Te )T K eTe
来自百度文库
3.
K Ke
4.1.
e K K K ie [(Te )T K ie Te ] i (Te )T Te xi xi xi xi