数学物理方程试卷及答案

参考解答： 一、 填空题

1. A 定解 B 初值（或Cauchy 问题） C 存在性、唯一性和稳定性

2. D 双曲

3. E (1)(2)(4)

4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域

5. H 22

2(21)(1,2,)4n n L πλ-== I

(21)cos (1,2,)2n x X n L

π-== 二、解：无界区域上波动方程2

00,,0

|(),|()

tt tt t t t u a u x t u x u x ϕψ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩ 的达朗贝尔公式为：

22

()()1(,)()2

2x at

x at x at x at u x t d a

ϕϕψξξ+--++=

+

⎰ 对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：

2(),()||x x x x ϕψ==即可，2a = ,代入达朗贝尔公式得

2222222

2(2)(2)1()||2224,25(4)

,24

x t

x t

x t x t u x d x xt t x t

x t x t ξξ

+--++=+⨯⎧++≥⎪=⎨+<⎪

⎩⎰ 二、

解：设(,)()()u x t X x T t =，则()''()4''()()X x T t X x T t =，

分离变量成为''()''()

4()()T t X x T t X x λ==-，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0X x X x X X T t T t λλ+===⎧⎨+=⎩

， 解前一方程，得固有值22(0,1,2,

)n n n λπ==和固有函数()cos X x n x π=，

代入方程''()4()0T t T t λ+=中可得()cos 2sin 2T t A n t B n t ππ=+，

1,2,3,)n =（

由叠加原理，原方程有解1

(,)(cos 2sin 2)cos n

n

n u x t A n t B

n t n x πππ∞

==

+∑。

考虑所给初值条件，有：0

1sin cos 02cos n n n

n x A n x B n n x

ππππ∞

=∞

=⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∑∑ ，

则1

002sin A xdx ππ==⎰，1

0202sin cos 4

(1)n n A x n xdx n n πππ

⎧

⎪

==-⎨⎪-⎩

⎰为奇数为偶数

，0n B =

故，原问题的定解为2

1

2

4

(,)cos 4cos 2(41)n u x t n t n x n πππ

π∞

==

--∑

。 四、解：首先，作变换(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+，将边界齐次化，只需令(,)(1)w x t x t α

α=≥ 原定解问题就可化为

函数(,)v x t 的定解问题：22010(1)2|0,|0,|0

t t xx x x x t v x v tx x t e v v v αααα-===⎧+---=-+⎪

⎨===⎪⎩，特别地，当2α=时泛定方程可进一步化为

更简单的形式t t xx v v e -=。

然后，对上述方程求由齐次泛定方程导出的方程''()()0X x X x λ+=在边界'(0)(1)0X X ==时的固有值

221

()(1,2,)2n n λπ=-=和固有函数1()cos()2

X x n x π=-，(1,2,)n = 利用常数变易法构造满足原泛定方程

的解11(,)()cos()2n n v x t T t n x π∞

==-∑ 代入得：221

11

('()()())cos()22t n n n T t n T t n x e ππ∞

=+--=∑。

由于1

14(1)11cos()(21)2n n n x n ππ-+∞

=-=--∑，可令12214(1)'()()()2(21)(0)0

n t

n n n

e T t n T t n T ππ-⎧-+-=

⎪-⎨⎪=⎩

解得221

()12

22

32(1)()

()(21)(4(21))

n t

n t

n e e T t n n πππ-----=

-+-， 故原方程的解为：221

()12

222

1

32(1)()1

(,)cos()(21)(4(21))2n t

n t

n e e u x t x t n x n n ππππ---+∞=--=+

--+-∑ 五、解：

I 22

22

4()42

1

11()()222x x jx j x

j x

f x F e

d e

e

d e

e

d β

βωωβωωβ

ωωωωπ

π

π

-

-

+∞

+∞

+∞

--

--∞

-∞

-∞

=

=

=

=

⎰

⎰

⎰

II 对所给初值问题关于变量x 作Fourier 变换，记(,)[(,)](,)i x U y F u x t u x t e dx ωω+∞

--∞

==

⎰

，