第6章应力状态分析

p p 21 2 0 , 1 0 2 4
即最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45°
例6.1:已知:单元体各侧面应力 x=60MPa, x=20.6MPa,
y=0, y=-20.6MPa
求: (1) = - 450斜截面上的应力;(2)主应力和主平面 x y x y 45 cos 2 x sin 2
3、几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一
方向上的正应力和切应力
y
A
yx
a ( a , a )
xy
c

转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。
t
y
A
a' 2
2qp

n
x oE
a (x ,xy)
40 MPa
3 48.3MPa
b(40,30)

1 68.3MPa
(10,0)

f
e
o c
60
2q p

tan 2q p
2 xy
x y
0.6
a(60, 30)
q p 15.48
R ( 60 (40) 2 30 30 2 ) ( ) 58.31MPa 2 2
min
x y
2
(
x y
2
)2 x 2
x
17.20 66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.62 2 2 66.4(6.4) MPa
1 66.4 MPa， 2 0， 3 6.4 MPa
作业：6-3 (b) (d) (e)
“ 面内最大切应力”。 o B 1
d
wk.baidu.com

A 1
例6.2：一点处的平面应力状态如图所示。已知
30 , x 60MPa, xy 30MPa. y 40MPa,
试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40 MPa
D
A

解： 1、图解法

C
D
4、应力圆的应用——信息源
思维分析的工具，而不是计算工具。
5、基本变形的应力状态
x
B A
45º

b
x'
y D
x
d o
2×45º

y' E
c
e
2×45º
a
x
单向拉伸
45º 方向面既有正应力 又有切应力，但正应力不是 最大值，切应力却最大。

纯剪切
D
a (0, )
x'＝
B
E
y'＝
§ 6.3 平面应力状态分析的图解法
1、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y x y ( ) cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
x
2
2
x
30MPa

50.6MPa
x
50.6MPa
60 0 60 0 cos(90 ) 20.6 sin(90 ) 2 2
45

x y
x
2 60 0 sin(90 ) 20.6 cos(90 ) 2 30MPa
y
y
y'
xy
yx
y x x y
y ''
y'
x'
x
x
yp
x ''
xp
x'
x-y坐标系
x'－y'坐标系
xp-yp坐标系
主应力单元体
重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态 （壁厚为t，内直径为d，t<<d，内压为p）
x
t
ｌ
ｐ
x
ｐπD２
x (p D)
(1)
x y sin 2 xy cos 2 2
(2)
x y 2 2 x y 2 2 ( ) ( ) xy 2 2
a ( a , a )
R R
x y 2 2 ( ) xy 2

c
x y 2

x y
2
(
x y
2
)
2
2

xy
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
主平面的方位：
40 MPa
tan 2q p

2 xy
x y
60 0 .6 60 40

q p1 15.48 ,
x
e
yx
n´
xy
x
f
x

dA


f
xy
a
y
y
yx
dA· sin
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
dA· cos 平衡方程—— t´ e n´

x


f
xy
a
dA
y
yx
dA· sin
dA· cos
t´
e
n´
x



f
xy
a
dA
y
第 6章
应力状态分析
§ 6.1 概述
一、一点的应力状态 应力的三个重要的概念：
1、应力的面的概念
2、应力的点的概念 3、应力状态的概念
轴向拉压
F
F A

横截面上的点应力：
F


斜截面上同一点：
cos2

sin 2
2 同一点在不同方位截面上，应力是各不相同的，此即
sin 2
x cos 2
x=60MPa, x=20.6MPa, y=0, y=-20.6MPa
2 20.6 2 x 0.69 tan(2 ) 60 0 x y 17.2 2 34.4
6.4MPa
x
max
2
解得：
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2




因此
x y
即单元体两个相互垂直面上

x
的正应力之和是一个常数。

A
2×45º
e o 2×45º
c
b

d
(0,- )
45º 方向面只有正应力没有切应力， 而且正应力为最大值。
6、 主平面、主应力与主方向
y xy
D A

a
x yx
o
2q p

A1
B1
d
c
主平面: = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面
主应力的确定
y xy x yx
2q p c d
q p2 15.48 90 105.48
作业：6-4 ( f )
§6.4 三向应力状态的最大应力
一、定义 三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态.
2
三向应力状态
的应力圆
1
3

II
I

9.02 MPa



x y
2
sin 2 xy cos 2
60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面

x y
2
(
x y
2
) 2 2 xy
40 MPa
68.3MPa
yx
x
y
xy
x f
1、符号规定 正应力正负号规则
x
x
拉为正 压为负
切应力正负号规则 使微元或其局部顺 时针方向转动为正；反 之为负。
角正负号规则
t
由x正向逆时针转到n正
y
向者为正；反之为负。

n
x
2、任意斜截面上的应力公式推导 平衡对象——用ef 斜截面截取的微元局部 y dA· cos t´ e
应力的面的概念。
Mz
Q
同一面上不同点的应力各不相同——应力的点的概念。
应
力
指明 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合——应力状态
一点应力状态的描述 单元体（微元）：围绕受力构件内任意点切取一个微小 正六面体。 0 dx , dy , dz 单元体的特点 1.单元体各侧面上的应力分布是均匀的 2.两个相互平行侧面上的应力情况是相同的 3.代表该点三个相互垂直方向上的应力情况 围绕一个受力点可以有无数多个单元体。
yx
dA· sin
dA· cos
t´
e
n´
x

a dA
xy
y

f
yx
dA· sin
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 p 用 斜截面截取，此截面上的应力为
应力圆上某一点 的坐标值对应着单元 体某一方向上的正应 力和切应力
应 力 圆
2、应力圆的画法
yx
D A
x y 2 2 ( ) xy 2
R a (x ,xy)
xy
x
(y ,yx)
c d
在τ-σ坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应 的点a和d； 连ad交 σ 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径
ｐ

Ｄ
４
x
F
x
0
pD 2 x (pD ) p 4
ｐ×Ｄ×ｌ
ｐ
t
ｐ
t ( 2 l )
t
t (2 l ) p(D l )
x
t
t
承受内压薄壁容器 任意点的应力状态:
x
三向压缩
§ 6.2 平面应力状态分析的解析法
求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。 y e
示例一
F
S平面
F
1
F A
1
S平面（横截面）
S平面
F
n
1

F


1


90
S平面（斜截面）

同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.
示例二：
FP S平面
l/2
l/2
5 4
5
S平面
4
3
2 1
3
2
1
5 4
Q
FP 2
5 4
3
2 1
FP l Mz 4
3
2
1
M x1 z Wz




yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
利用解析法得到：
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
由
d 0 d
tan 20
d (9.02,58.3)
主应力单元体：
3
q p1
1
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2、解析法
40 MPa
（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
2 2 60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2
二、应力状态分类： 三向（空间）应力状态
z
z
zx
x
x
xz
zy yz
xy yx
y
y
平面（二向）应力状态
y
x
y
x
y
y
yx
x
xy
x
x
单向应力状态
纯剪应力状态
三 向 应 力 状 态
特例
平 面 应 力 状 态
单向应力状态
特例 纯剪应力状态
一点的应力在空间不同方向上的变化 对复杂受力情况的分析
1
y
D
主方向的确定
xy2
A

a (x ,xy)
2q p
x
qp
1
yx 2
o
1
2
d
c
g
xy tan 2q p x y x 2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
7、面内最大切应力

对应应力圆上的最高点
max
2q p c
a
的面上切应力最大，称为
2 xy
x y
将0值代入，得：
max
min
x y x y 2 ( ) x2 2 2
剪应力的最大和最小值
x y d 0 tan 21 2 xy d
max
min
x y 2 ( ) x2 2
a

o B1
A 1
oc cA oA 1 1 oB1
x y 2 x y 2
oc cB1
x y 2 2 ( ) xy 2 x y 2 2 ( ) xy 2
主应力表达式
主应力排序：
1 2 3
2
1
2
3
x2
2
3
主单元体:
各侧面上只有正应力作用,而无剪应力 作用的单元体
主平面：单元体上剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个 相互垂直的主平面，因此每一点都有三个主应力，以
1，2 和 3 表示，且
1 2 3
同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：