3.2 立体几何中的向量方法(全)

∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x , y , z );
习惯上取n ( x, y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
求证∥ .
证明: 取l,m的方向向量a, b 取 ,的法向量u, v.
l∥ , m∥ a v, b v
β
v
又a, b不共线, 所以v是的一个法向量 于是 v 同时是、的一个法向量
∥ .
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0
C B
A X
Y
练习
设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4)
垂直
(2)u (1,2,2), v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5), v (3,1,4) 相交
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. 证 ：如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P
F(2,2,0), G(0,4,2), 立体几何法呢？
AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2)
3 AE = FG AE // FG 2 AE//FG. AE与FG不共线，
解得 x＝－２,ｙ＝１
P
E
即PA 2DE DB
于是PA 、 DE、 DB共面
而PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
A X
D B
C
Y
练习题
三棱柱ABC-A1B1C1中,D是A1C1中点. 求证:BC1∥面AB1D.
AB1 AB AA1 1 AD AC AA1 2 BC1 AB AA1 AC
证2：立体几何法
P
E
C B
y
练习
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1， 以DA， DC,DD1 为单位 正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz， 1 z
DA (1, 0, 0)， DE (1,1, ), 2 1 D1 F (0, , 1) 2
(2) l l
a
a // u a u
u
C

A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
（3） u v u v 0
u
β
v
α
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
A
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
一. 平行关系：
(1) l / / m a / / b a b ；
a
l
m
b
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
② a∥AC
a
③ a xAB y AD
C
Y
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1 1，0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) DB =(1, 1，0) 2 2 Z
设PA xDE yDB
A X
E M
D
G
C
N
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法 连结AC交BD于点G， 再连结GE.
P
E
D A X
G
C B
Y
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG Z
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
证1：如图所示建立空间 直角坐标系，设DC=1. 1 1 PB (1, 1, 1) DE (0, , ) 2 2 1 1 故 PB DE 0 0 2 2 所以PB DE 由已知EF PB,
且EF DE E ,
Z
P F
D B
E
C
所以PB 平面EFD A
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 1 1 E (0, , ) G( , ，0) 2 2 2 2 1 1 PA (1, 0, 1), EG ( , 0, ) 2 2
P E
所以PA 2EG ，即PA// EG
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
A1F (a, b, a) O1E (a b, a, a)
C O
A’
F A B E
y
A F O E 0
1 1
A F O E
1 1
x１ A F O1E
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 作EF PB交PB于点F . (2) 求证 : PB 平面EFD.
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
一、方向向量与法向量 １、直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量.
A

l
a
P
直线ｌ的向量式方程
AP ta
2、平面的法向量
设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1)
则n DE, n DB
P
E
1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0
PA n 0 PA n 而PA 平面EDB,
所以，PA // 平面EDB.
D A X B
证1
立体几何法
B
M D N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
A
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2
向量法
ＭＮ ＝MA AD DN
1 1 AB AD DC 2 2 B 1 1 AB AD ( AC AD ) 2 2 1 1 1 AB AC AD 2 2 2
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0

A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1,0,0) (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________ (0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________ (-1,-1,1) (3)平面AB C 的一个法向量坐标为___________
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
n a 0 组 n b 0 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.
M D N C
1 1 1 MN AB ( AB AC AD) AB 0 2 2 2
∴MN⊥AB, 同理 MN⊥CD.
例1
四面体ABCD的六条棱长相等, AB、
CD的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证3 如图所示建立空间直角坐标系，设AB=2.
3 2 6 B(0,0,0), D(0, 2, 0), C( 3,1,0), A( ,1, ), 3 3 3 1 6 3 3 M( , , ), N ( , , 0), 2 2 Z A 6 2 3
O
BC1 AB1 2 AD.
立体几何法呢？
3.2.3
立体几何中的向量方法 ——垂直关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
解：如图所示建立空间直角坐标系. Z
设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1),
依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 1，0) E (0, , ) B(1, 2 2 1 1 DE (0, , ), DB =(1, 1，0) 2 2
P E
D
则n DE, n DB

y
M B D N

C
y
x
x
棱长为a 的正方体 OABC O' A' B' C ' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证： 练习
A F O E
1 1
z
B’
证明：如图所示建立空 O’ 间直角坐标系，设AF=BE=b. C’ A1 (a, a, a) F (0, a b,0) O1 (0,0, a) E(a b, a,0)
X
Y
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方 形, PD 底面ABCD, PD DC , 点E是PC的中点, 作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
z
PD 面ABCD PD BC BC 面ABCD PC BC, PD PC P F BC 面PDC DE BC, DE 面PDC BC PC C D PD DC DE PC, E是PC的中点 A DE 面PBC x DE PB , PB 面PBC EF PB, PB 面DEF. DE EF E
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
3.2.2
立体几何中的向量方法 ——平行关系
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / / v u v.
u
v
β
例1.用向量方法证明
定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行. u a ｍ 已知 直线l与m相交, α b l , m , l∥ , m∥ ｌ
所以，PA // 平面EDB
A
D
G
C
B
Y
X
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1 1，0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) 1，0) Z DB =(1, 2 2
1
z
O1 A1
C1 B1
o
A B
C
y
x
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , 2 1 C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n , ,1
3 2 习惯上取n ( x, y,1)

解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )