指数函数的数据拟合

四．指数函数的数据拟合

问题1：世界人口预测问题

下表给出了本世纪六十年代世界人口的统计数据(单位：亿)

有人根据表中数据，预测公元2000年世界人口会超过 60亿。这一结论在六十年代末令人难以置信，但现在已成为事实。试建立数学模型并根据表中数据推算出2000年世界人口的数量。

根据马尔萨斯人口理论，人口数量按指数递增的规律发展。记人口数为 N (t )，则有指数函数N e a bt =+。现需要根据六十年代的人口数据确定函数表达式中两个常数a 、b 。为了计算方便，对表达式两边取对数，得 ln N a bt =+，令 N y ln =。于是bt a t y +=)(。

(1)计算出表中人口数据的对数值y k = ln N k ( k = 1，2， (9)

(2) 根据表中数据写出关于两个未知数a 、b 的9个方程的超定方程组（方程数多于未知数个数的方程组）

a + b t k = y k ( k = 1，2， (9)

其中，t 1 =1960，t 2 =1961，t 3 =1962，……，t 9 =1968；

y 1= ln29.72，y 2 = ln 30.61，……，y 9 = ln34.83。

(3) 利用MA TLAB 解线性方程组Ax=c 的命令A \c 计算出a 、b 的值，并写出人口增长函数。利用人口增长函数计算出2000年世界人口数据：N (2000)