广工复变函数与积分变换历年试题

jω
2006－2007 第二学期复变函数期末考试试题（B 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分
分数
一 计算下列各题 （1） 1 − 3i
i 1−i
（3） (1 + i)i
（2） 6 1 − i
（4） Ln(− 3 + 4i)
二 计算下列各题
( ) ( ) （1） f (z) = x2 − y 2 − x + i 2xy − y 2 何处可导？何处解析？
三 计算下列积分
（1） ∫ thzdz z−2i =1
( )( ) ∫ （2）
dz
，C : z = 3
C z2 +1 z2 + 4
2
( ) ∫ 1
（3） z =5 (z − 3) z 5 −1 dz 2
四
把函数
z
2
1
(z −
i)
在以
i
为中心的圆环域内展开成洛朗级数。
五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性
i)
在以
i
为中心的圆环域内展开成洛朗级数。
五 求下列函数 f (z)在有限奇点处的留数：
（1） 1 z sin z
1− e2z （2）
z4
六
f
(t )
=
cos t, t ≤
0, t
>π
π
，证明
∫+∞ ω sin ωπ cosωtdω
0
1−ω2
=
π
2
cos
t,
t
0, t >来自百度文库π
≤π
2006－2007 第一学期复变函数期末考试试题 题号 一 二 三 四 五 六 总分
（2）证明 u(x, y) = y 为调和函数，并求其共轭调和函数 v(x, y) 和由它们构
x2 + y2
成的解析函数 f (z) = u + iv, 使其满足 f (2) = 0.
( ) （3）函数 f (z) =
z
在复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指
1 + z 2 sin z 2
出它的级，并计算在这些奇点处的留数。
( x, y )→( x0 , y0 )
( x, y )→( x0 , y0 )
z → z0
(B) 若 u(x, y), v(x, y) 在(x,y)连续，则 f(z)在 z 连续
(C) 若 u(x, y), v(x, y) 在(x,y)偏导数存在，则 f(z)在 z 可导
∫ (D) 若 u(x, y), v(x, y) 在光滑曲线 C 上连续，则积分 f (z)dz 存在 C
）
A．2
B．i
C．1
D．0
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，
共 10 分）
1.
方程
ln
z
=
1
+
π 3
i
的解为____________.
2. 设
C
为
正
向
圆
周
|z-
π
4
i
|=1, 则 积
分
∫C
1 cos
z
dz
=
____________.
3. f (t) = e−4t cos 6t ,则 L[ f (t)]=
三 计算下列积分
（1）计算积分 ∫CRe zdz ，其中积分路径 C 为：
① 连接由点 0 到1 + i 的直线段； ② 连接由点 0 到点 1 的直线段及连接由点 1 到点1 + i 的直线段。
( )( ) ∫ dz
（2） C z2 +1 z2 + 4
C: z = 3 2
（3） ∫ tg(πz)dz z =3
2006—2007 学年第二学期复变函数补考试题
题目 一 二 三 四 五 总分 分数
一 求下列各式的值
2−π i
（1） (1 − i)1/ 4 （2） Ln(− 3 + 4i) （3） (1 + i)i （4） cos(5i) （5） e 3
二 研究下列函数的解析性 f (z) = 2x3 + 3y3i
5．设 C 为正向圆周|z|=1,则 ∫C zdz =（
）
A． 6πi
B． 4πi
C． 2πi
D．0
6．设
C
为正向圆周|z|=1,则
∫C
(z
−
1 1+
i) 2
dz
等于
（）
A.0
B.
1 2πi
C. 2πi
D. πi
∑∞ (3 + 4i)n
7．对于复数项级数 n=0
6n
，以下命题正
确的是（ ）
A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的
3．下列哪个函数在复平面解析
(A)|z|
(B) z
(C)arg z
(D) cos z
4. 求留数 Re s[e1/z , 0] =
（） （）
专 业：
装
学 院：
广东工业大学试卷 A 用纸，共 2 页，第 1 页
（A）0 （B）1
1
(C)
2!
(D) − 1 2!
v∫ 5 设 f (z) = 1
ζ dz ，则
∑ (1) ∞ in n=1 n
∑∞ (6 + 5i)n
（2） 8n
n=0
六（1）
f
(t )
=
cos t, t ≤
0, t
>π
π
，证明
∫+∞ ω sin ωπ cosωtdω
0
1−ω2
=
π
2
cos
t,
t
0, t > π
≤π
2006－2007 第一学期复变函数期末考试试题（B 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分
（）
π (A) -
4
π
7π
(B)
(C)
4
4
(D) π +2kπ 4
2 ． 设 函 数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ， 其 中 z=x+iy, 则 下 列 说 法 错 误 的 是
（）
(A)若 lim u(x, y), lim v(x, y) 存在，则 lim f (z) 存在
在以
i
为中心的圆环域内展开成洛朗级数。
五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性
∑ (1) ∞ in n=1 n
∑ （2） ∞ 1 + i −n
n=0 2
六（1）求指数衰减函数
f
(t )
=
0,t < 0 e−βt , t ≥
0
的
Fourier
变换及其积分表达式，其中
β >0。
（2）利用性质求函数 f (t) = e jω0ttu(t) 的 Fourier 变换。（已知单位阶跃函数 u(t) 的 Fourier 变换为 F[u(t)] = πδ (ω) + 1 ）
构成的解析函数。
三 计算下列积分
( )( ) ∫ （1） C
dz z2 +1 z2 + 4
，C :
z
=3 2
∫ （2） πi sin 2 zdz −πi
（3） ∫ tgπzdz z =3
( ) ( ) ∫ （4）
z 15
dz , C : z = 3
C z2 +1 2 z4 + 2 3
四
把函数
z
2
1
(z −
C.级数的和 ∞
D.级数的和不存在，
也不为 ∞
8. 沿 正 向 圆 周 的 积 分
∫ sin z dz
z =2 z 2 −1
=
（
）.
Ａ.2πi sin1 Ｂ.0 Ｃ.πi sin1 Ｄ.以上都不对.
9.
∞
幂级数 ∑ n=0
1 (1 + i)n
zn
的收敛半径为（
）
A． 2
B．1
C． 1 2
D．0
10．函数 z tan z 在 z=0 点的留数为（
线
学 号：
订
广东工业大学考试试卷 (A)
课程名称: 复变函数与积分变换
试卷满分 100 分
考试时间: 2013 年 1 月 4 日 (第 18 周 星期 五 )
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
评卷得分
评卷签名
复核得分
复核签名 一 选择题（每题 5 分，共 25 分）
1．求复数 ln(1-i) 的虚部 Im ln(1-i)
分数
一 计算下列各题
( )5
（1） − 3 − i
（2）
(1
−
i
)
1 3
（3） (1 + i)i
（4） Ln(− 3 + 4i)
二 计算下列各题
（1） f (z) = 2x3 + 3y3i 何处可导？何处解析？
（2）证明 u(x, y) = y3 − 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和函数 v(x, y) 和由它们
分数
一 计算下列各题
（1）
11
+ −
3i 3i
5
（3） (1 + i)i
（2） 4 1 − i
( ) （4） Ln 3 − 3i
二 计算下列各题
( ) ( ) （1） f (z) = x2 − y 2 − x + i 2xy − y 2 何处可导？何处解析？
（2）证明 u(x, y) = y3 − 3x2 y 为调和函数，并求其共轭调和函数 v(x, y) 和由它们
分数
一 计算下列各题 （1） 1 − 3i
i 1−i
（3） (− 3 + 4i)i
（2） 4 1 − i （4）求解方程： e z − 3 + 3i = 0
二 计算下列各题
（1） f (z) = 2x3 + 3y3i 何处可导？何处解析？
( ) （2）函数
f (z) =
z 1 + z 2 sin z 2
。
n=0
v∫ 3．计算积分
z dz =
|z|=2 | z |
。
4．函数 f(t)的傅里叶变换式ℱ[f(t)]=
。
5．若函数 f(t)的拉普拉斯变换ℒ[f(t)]=F(s)且 f(0)=0,则ℒ[f’(t)]=
。
三（10 分）求值 (1+ i)i 。
∫+∞
x2
I = −∞ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) dx
i
4（. 10 分）将函数 f(z)= z2 (z + i) 在圆环 0<|z|<1
内展开成罗朗级数.
5（10
分）求函数
f (z)
=
z2
−
1 5z
+
6
在
z=1
处的
泰勒展开式，并求其收敛半径.
四、积分变换（20 分）
1, 0 < t ≤ 1
1（10 分）已知 f(t)= 0, 其他 ,试求下列函数
的付氏变换： (1)e-2tf(t); (2)sin2t; (3)g(t)=e-2tf(t)+3sin2t.
2（10 分）利用拉氏变换解常微分方程的初
y′′ + 4y′ + 3y = e−t
值问题：
y(0) = y′(0) = 1
姓 名：
在复平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指
出它的级，并计算在这些奇点处的留数。
三 计算下列积分
( )( ) ∫ （1） C
dz z2 +1 z2 + 4
，C :
z
=3 2
∫ （2） i ( z − i) e−zdz 0
( ) ∫ （3）
z
=5
(z
−
1
3) z 5
−1
dz
2
四
把函数
z
2
1
(z −
i)
=
a
+
ib
，
则 a2+b2的值（
）
A．等于 0
B．等于 1
C．小于 1
D．大于 1
3．下列函数中，不．解．析．的函数是（
）
A.w= z
B.w=z2
C.w=ez
D.w=z+cosz
4 ． 在 下 列 复 数 中 ， 使 得 ez=2 成 立 的 是
（）
A.z=2
B.z=ln2+2 πi
C.z= 2
D.z=ln2+ πi
≤π
一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 1．下列等式中，对任意复数 z 都成立的等
式是（ ）
A.z· z =Re(z· z )
B.
z· z =Im(z· z )
C. z· z =arg(z· z )
D. z· z =|z|
_
2．设
z
为非零复数，a,b
为实数，若
z z
2π i ζ |z|=1 − z
（A） f (0) = 1 （B） f (z) = z (C) f (3) = 0
(D) f '(z) ≡ 0
()
二 填空题（每题 5 分，共 25 分）
1．方程 zn −1 = 0(n ∈ N+ ) 的根个数为
个。
∞
∑ 2．幂级数 ein (z −1)n 的收敛圆为
z
2
1
(z −
i)
在以
i
为中心的圆环域内展开成洛朗级数。
五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性
∑ (1) ∞ in n=1 n
∑∞ (6 + 5i)n
（2） 8n
n=0
六
f
(t )
=
cos t, t ≤
0, t
>π
π
，证明
∫+∞ ω sin ωπ cosωtdω
0
1−ω2
=
π
2
cos
t,
t
0, t > π
( ) ∫ （4）
z
=5
(z
−
1
3) z 5
−1
dz
2
四
求函数
f
(z
)
=
(z
−
1
1)(z
−
2)
在以 z = 0 为中心的圆环域（包括圆域）内的展
开式。
五
求指数衰减函数
f
(t) =
0,t < 0 e−βt , t ≥
0
的
Fourier
变换及其积分表达式，其中
β >0。
2006－2007 第二学期复变函数期末考试试题（A 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分
构成的解析函数。
三 计算下列积分
∫ （1） i ( z − i) e−zdz 0
( )( ) ∫ （2） C
dz z2 +1 z2 + 4
，C :
z
=3 2
（3） ∫ thzdz z−2i = 1
( ) ( ) ∫ （4）
z 15
dz , C : z = 3
C z2 +1 2 z4 + 2 3
四
把函数
.
4. 函数 f(t)=t 的傅氏变换为
.
5.
函数
f(z)=
1 [1 + z
z
1 +1
++
1 (z + 1)5
] 在点
z=0
处的留
数为__________________。
三、计算题（本大题共 5 小题，共 50 分）
1.（10 分）设 C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分
∫ ez
I= C z(z − 2)2 dz. 2. （10 分）已知 u(x, y) = x2 − y2 + xy ,为调和函 数,求 v(x, y) 及解析函数= f (z) u(x, y) + iv(x, y) . 3. （ 10 分 ） 利 用 留 数 计 算 积 分