氦原子1s2s组态能量

,
（20） （21）
1 2 2 2 2 R1s (r1 ) R2 s ( r2 ) r 1 r2 d r1 d r2 , r r R1s (r1 ) R2 s (r2 ) R2 s (r1 ) R1s (r2 )r12 r22 d r1 d r2 . r2
G1 (1s, 2 s )
n ar
（27）

可得
N2s

0
r n e kr dr
n! . k n1 2 0 . 3
（28）
3 , 8(1 3c 3c 2 )
c
（29）
（20） （21） （22）诸式，并利用以上的积分公式有 将试探性径向波函数代入（19）
2 I (1s) 2 , 2
氦原子 1s2s 组态能量的计算
刘光庆 西华师范大学物理与电子信息学院物理教育专业 06 级 指导老师：刘自祥 摘要：本人在前人研究成果的基础上，运用变分法计算了氦原子 1s2s 组态的能 量。 通过对这一三体问题的研究，为进一步计算多体问题的低激发态能量问题提 供了研究途径和方法。 关键词：氦原子；1s2s 组态；低激发态；变分法 Abstract:In thid paper ,the variational method be used to calculate the energy of helium atomic 1s2s configuration is based on precursor’s study results.To research the three-body problem that provides energy research ways and methods for the further study of many-body calculation of the low-lying excited states. Key words:Helium atom 1s2s configuration Low-lying excited states variation method 引 言 [1-11] 探索精确计算氦原子能级结构的方法一直是人们感兴趣的工作 .在过去的 [1-4] [5] 几十年里，人们提出了多种不同的理论方法，如变分法 ，有限元方法 ，超球 [6 ,7] 谐函数方法 等，其中变分法始终是最简单的方法. 1913 年玻尔在桑基本假设（1.定态假设 2.频率假设 3.轨道角动量量子化假设） 的前提下， 利用经典电磁理论和牛顿力学计算出了氢原子核外电子的各条可能的 轨道半径 Rn 以及电子在各个轨道上运行时原子能量 En（包括电子的动能和原子 -19[1] 的热能） ，其中 E1=-13.6eV，R1=0.53×10 分别为基态的能量和轨道半径。玻 尔理论虽然解决了关于氢原子的许多问题， 但是将其运用到两个电子或多个电子 体系时就不适用了， 这主要是由于玻尔理论与经典理论结合不完善的缘故。众所 周知， 两体问题的薛定谔方程是可以精确求解的，而多体问题的薛定谔方程一般 只能采用近似方法求解。He 原子和类 He 离子的研究是对三体问题的讨论，研究 最多的就是氦原子， 氦原子模型是典型的三体问题，对基态能量和波函数的数值 计算是原子物理学中最基本、 最有意义的问题之一，通过对这一问题的研究可以 探索求解多体问题的方法， 掌握结果波函数的思路。在过去的六七十年中有不少 学者就此问题展开研究并有许多研究成果。这些成功主要体现在两方面:一是选 用两个相同类氢原子基态波函数乘积作为氢原子基态试波函数的传统方法计算 [2] [3,11] 氦原子基态能量，但是计算结果与实验值的误差为 。二是利用微扰理论 来 处理相关的问题。 一 理论方法 1. 微扰理论 设某一体系不能进去求解的薛定谔方程为， 另有一体系可以精确求解的薛定谔 方程为，可以把 H 写成即。式中为未微扰体系的哈密顿算符，H 未微扰体系的哈 密顿算符，H’称为微扰项，这样，微扰体系就好像是未微扰体系受到一个扰动的 结果。 引以一个参数，令 H H (0) H ' ，当=0 时， H H (0) 即未微扰体系，当=1 时，
2 1 Z I (1s ) (1s 0 m (r1) 1s 0 m (r1)) 2 r1
, ,
（17） （18）
,
（19）
I (2s ) ( 2 s 0 m (r2 ) F 0 (1s, 2 s )
0 0
2 Z 2 2 s 0 m (r2 )) 2 r2
n (1) 2 n (2) )
(2)
经过整理，对的一次幂可得
(0) (1) (1) 0 ( H (0) E n ) n ( En H ') n
.
(3)
(1) (0)* (0) (0) 将 n 按 n a (1) j j 展开，乘以 m 后积分，再利用正交归一性，可得 j (1) (0) (0) (1) (0)* (0) am ( Em En ) En mn m H ' n d
i 0
0 Ci*Ci 1 ，所以： E E Ci*Ci (Ei E 0 ) 0
n n
.
（10）
即
E * H d E0
. （11）
上式称为变分原理， 它表示体系哈密顿算符 H 关于 的平均能量 E 必是体系基 态能量 E0 的能量，若 未归一化，则
, （32）
40 2 (1 c) 2 2 (8 14c 9c 2 ) 3 (2 4c 3c 2 )] G (0) (1s, 2s) 16( ) [20 2 10 (2 5c) 2 (5 25c 33c 2 )] 7 2 (2 ) (1 3c 3c ) .（33）
2 1 2 Z Z 1 H 2 2 2 r1 r2 r12 [7]
（分相对论情况下的能量算符）
（15）
其中 Z 为核电荷数，本文采用的是原子单位，其中能量的单位为哈特利，ຫໍສະໝຸດ Baidu即
e2 2 13.6eV [7] a0
对于 1s2s 组态有两个谱项，即 1S 和 3S 谱项，取单电子波函数为
3
（18）式，得到用参数 和 表示的能量表达式为 将以上各式代入（17）
2c ( Z 1) ( Z 1) (1 c) E( S ) Z 2 8 4 4(1 3c 3c 2 )


0
R1s (r )R2 s (r )r 2 dr 0 .
（25）
其中 R1s (r ) 为基态径向波函数，由文献[8]知
3 R1s (r ) 2 0 r exp( 0 r ), 0 Z
5 16 ，
（26）
利用积分公式
r n ear n n1 ar r e dr a a r e dr ，
nlm m Rnl (r )Ylm ( , ) m ( s )
l s l s
.
（16）
文献[8]利用对角和不变法可以导出这两个谱项能量的如下表达式：
E ( 1S ) I (1s) I (2s) F 0 (1s, 2s) G (0) (1s, 2s) E ( 3S ) I (1s) I (2s) F 0 (1s, 2s) G (1) (1s, 2s)
3
程中借助了 Matlab 或 Mathematica[6]软件编写一套计算上述三体问题的程序，其运 算时间也大大缩短了。 这些成果的取得也益于近代计算机软件的发展，由于借助 于计算机软件， 氦原子基态能量的计算已经和实验值相对接近了，再去研究也不 可能有太大的进展， 因此本文就其一个低激发态来讨论氦原子在此激发态的能量。 二 理论计算 我们引入能量的哈密顿算符
R1s ( r ) 2 3 exp( r ) [7,8,9], R2 s (r ) N 2 s (2 c r ) exp(
（23） （24）
r [6] ) . 2
其中 N3s 为归一化系数，常数 C 由正交性确定，即
4


0
2 2 R2 s ( r ) r dr 1 ,
（13）
将其代入变分原理表达式，为使变分原理得到满足，必须调整系数 Ci ，使之 满足下面的求极值的诸方程：
E E E 0 Ci C 2 Cm .
（14）
由此可得一组求解 Ci 的 m 个联立方程，即久期方程可得 m 套非零解，其中与 最低 E 值相对应得一套解便可组成近似的波函数。 所求出的 E 值就是该体系基态 能量的近似值。用变分法计算，取得的成效更好，其计算出的能量值与实验的相 对误差仅为 0.014[5]。当然这些计算完全靠人工计算的话是不太可能的，在计算过
0 0

（22）
式中： r min(r1 , r2 ) ， r max(r1 , r2 ) 在本文中 r1 r2 ，故 r min(r1 , r2 ) r1 ， r max(r1 , r2 ) r2 , 为保证激发态波函数与基态波函数正交，将试探性单电子径向波函数取为：
H d E E d
* *
0
.
（12）
函数 为变分函数，如能恰当选择 ，在作变分计算时，能以较小的工作量取 得较满意的结果。 在量子化学计算中， 广泛采用的是线性变分函数， 它是满足体系边界条件的 m 个线性无关的函数 1、 2 m 的线性组合：
C11 C22 Cmm .

(0)* m
(0) H ' n d
mn
(0) (0) En Em
(0) m
,
n n
H' (0) (0) m E E mn m ,
(0) n
（6） ,
(0) (1) (0) (0)* (0) En En En En n H ' n d ' H nm 2
I (2s) v(1 v 2 Z 2c Z (1 c) , 8 4 4 (1 3c 3c 2 )
（30）
（31）
F 0 (1s, 2s)
1 c ) v3 1 3c 3c 2 [32 3 5 2 3 4(2 ) (1 3c 3c )
E
(2) n

m
(0) (0) En Em .
（7）
' (0) (0) 其中 H nm 为微扰矩阵元， n H 'm
再利用微扰能量的二次修正计算出氦原子的基态能量与实验值误差为 3.6%[2]。 2．用变分法原理[4,6,8,10,12] 设为任意归一化合格波函数， 若将按体系 H 的本征函数 f i 所组成的完备集合展 开：
n
C0 f 0 C1 f1 C2 f 2 C n f n
2
C f
i 0
i i
（8）
利用本征函数 f i 的正交归一性可得平均能量为
E H d C i*C i E i
* i 0 n
.
n
（9）
式中 Ei 为算符 H 关于 f i 的本征值，因为 Ci*Ci 恒为正值，且有 Ci*Ci 1 及
1
出现微扰项，微扰态的薛定谔方程为
( H (0) H ') n E n n
(1)
将 n 和 En 按的幂的泰勒级数展开，有
( H (0) H ')( n(0) n(1) ' n(2) )
= ( En En En )( n
(1) 2 (2) (0)
.
(4)
若 m=n，则
(1) (0)* (0) ' En n H ' n d hn
.
(5)
(0) 由此可见，能量的一级修正值等于微扰函数 H’对未微扰态 n 的平均值，这就
是说只要知道了无微扰态的波函数和能量， 就能求出微扰引起的能量一级修正值。 经过计算结果如下

(0) n