根据递推关系求数列通项公式的几种方法

根据递推关系数列通项公式的几种求法
一、定义法 例 1、已知数列an 的递推公式，求an
1)a1 3, an1 an 2
1 2)a1 2, an 1 an 3
等差数列
等比数列
二、累加相消法（累加法）
形如：a1 a, an1 an f n
当所给数列每依次相邻两项之间的差 组成等差或等比数列时，就可用累加 法进行消元。
p 1 , 求a n ?
构造等比数列an ， 使an 1 p(an ),
an 2 1
n
则q （p 1 ） ，
q 即 p1
4）a1 2, an1 2an 3
an 2
n1
an1 3 2(an 3)
2 an 5 4n
例6、已知数列an 的递推关系为： an 1 a ，a1 3，求an
2 n
两边同取常用对数
an 3
2 n1
当一个数列每依次相邻两项之商构成 一个等比数列或其它数列时，就可用 累乘法进行消元。
例3、已知数列an 的递推公式，求an
1）a1 2, an1 3 an
n
an 2 3
n n 1 2
n 2）a1 1, an 1 an n 1
1 an n
四、换元法
通过“换元”，构造一个等差或等比的 新数列，利用等差或等比的知识解决 问题。
3
1 5）a1 1, an 1 an 6 2
1 an 1 4 (an 4) 2
1 an 5 2
n 1
4
例5、已知数列an 的递推关系为： an 1 an 2an 1an，a1 2，an 0, 求an
两边同除an1an
例2、已知数列an 的递推公式，求an
2 1 1 3 2 a n n
2 n
4
4
2
2）a1 1, an1 an 2
an 2 1
n
n
三、累乘相约法（累乘法） an1 形如：a1 a, f n an
例4、已知数列an 的递推公式，求an
1 ）a1 1, an1 a 3
2 n
两边平方
an 3n 2
an 1 2）an 0, a1 1 ，an 3an 1 1
1 an 3n 2
取倒数
3）a1 1, an1 2an 1
形如：a1 a , an1 pan q