2.1.1曲线和方程(一)

定义: 定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作
点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程f(x,y)=0叫做 f(x,y)=0 这条曲线C的方程; x 0 这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0 的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; :1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形. ——反映的是数量关系所表示的图形 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 方程的曲线与曲线的方程的关系 方程的 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上⇔点 P ( x0 , y0 ) 的坐标是曲 的解. 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) = 0 的解.
y = kx + b
2
( x − a ) + ( y − b) = r
2
2
曲线和方程之间有什么对应关系呢？ 曲线和方程之间有什么对应关系呢？
练习： 练习： 1、说出下列方程所表示的曲线： 、说出下列方程所表示的曲线： (1) x = a (2) y = b
(1) 过点 ( a , 0 ) 垂直于 x 轴的直线 (2) 过点 ( 0 , b ) 垂直于 y 轴的直线 2、判断两点 P1(－2 5, 2 )、 P2(－2 5, 、 － 、 －
即如果曲线 C 的方程是 f ( x, y ) = 0 , 如果曲线 那么点 的充要条件是方 那么点 P ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是方 =0. 程 f ( x0 , y 0 ) =0.
3.集合的观点: 3.集合的观点:曲线 C 是坐标满足方程 f ( x, y ) = 0 集合的观点 的点的集合(又叫点 轨迹) 的点 P ( x0 , y0 ) 的点的集合(又叫点的轨迹).
课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所 列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的 折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方 程为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴 的距离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
l
0
x=y x=y（或x- y=0） 方程 x y=0
x-y=0 x
⇕
含有关系： 含有关系：
（1）
上点的坐标都是方程x-y=0的解 的解 l 上点的坐标都是方程
（2）以方程 以方程x-y=0的解为坐标的点都 以方程 的解为坐标的点都 在 l上 ∴说直线 l 的方程是 x − y = 0 ,又说方程 x − y = 0 的直线是 l . 又
小结: 小结: 1. 证明已知曲线的方程的方法和步骤 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
2.在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方 程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方 程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只 有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的 研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题， 以数助形正是解析几何的思想，本节课正是 这一思想的基础。
2.1.1曲线与方程 曲线与方程
黔东南州振华民族中学 何琴
在必修二,我们研究了直线和圆的方程 在必修二 我们研究了直线和圆的方程, 我们研究了直线和圆的方程 讨论了这些曲线和相应的方程的关系. 讨论了这些曲线和相应的方程的关系
1.经过点 和斜率为 的直线 的方程为 经过点P 和斜率为K 的直线l的方程为 经过点 ______________________. 2.圆心为 圆心为(a,b) ,半径为 的圆 的方程为 半径为r的圆 圆心为 半径为 的圆C的方程为 _______________________.
为什么? 为什么?
例 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k > 0) 的点的轨迹方程是 xy = ±k .
证明(1)设M(x0,y0)是轨迹上的任意一点.因为点 M与x轴的距离为|x0|,所以|x0|·|y0|=k,即(x0,y0)是 方程xy=±k的解. (2)设点M1(x1,y1)是方程xy=±k的解,则x1y1=±k, 即|x1|·|y1|=k.而|x1|,|y1|正是点M1到纵轴、横轴的 距离,因此点M1到这两条直线的距离的积是常数, 点M1是曲线上的点. 由(1) (2)知, xy=±k是与两条坐标轴的距离的积是 常数的点的轨迹方程
即曲线 C 是点集 {( x, y ) f ( x, y ) = 0} .
例 判断下列结论的正误并说明理由 过点A（ ， ）且垂直于x轴的直线的方程为 轴的直线的方程为x=3; 过点 对 (1)过点 （3，0）且垂直于 轴的直线的方程为 错 (2)到 x 轴距离为 2 的点的轨迹方程为 y=2 ; 到 错 (3)到两坐标轴距离乘积等于 的点的轨迹方程为 到两坐标轴距离乘积等于k 到两坐标轴距离乘积等于 的点的轨迹方程为xy=k.
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
课堂练习2:下述方程表示的图形分别是 下图中的哪一个？
① x - y =0
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 1 X Y 1 O -1 1 X
A
(x − a)2 + ( y − b)2 = r2 的解, 反过来,如果(x0,y0)是方程 即 ( x0 − a)2 + ( y0 − b)2 = r 2 ,也就是 ( x0 − a ) 2 + ( y0 − b) 2 = r , 即以这个解为坐标的点到点(a,b)的距离为r,它一 定在以(a,b)为圆心,r为半径的圆上.
B
C
D
①表示 B
②表示 C
③表示 D
课堂练习2 ： 设圆M的方程为(x −3)2 + ( y − 2)2 = 2 , 直线 设圆 的方程为 么（ C 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为 的坐标为(2,1)，那 的坐标为 ， l的方程为 ） A.点P在直线上，但不在圆上 点 在直线上 在直线上， B.点P在圆上，但不在直线上； 点 在圆上，但不在直线上； 在圆上 C.点P既在圆上，也在直线上 点 既在圆上 既在圆上， D.点P既不在圆上，也不在直线上 点 既不在圆上 既不在圆上，
5)
是否在方程 x 2 + y 2 = 25 所表示的曲线上 代入验证 P1 不在， P2 在 不在，
曲线和方程之间有什么对应关系呢？ 曲线和方程之间有什么对应关系呢？
1 .第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0. 第一、 第一
第一、 第一、三象限角平分线
曲线等 条件
作业： 作业： P37 练习 1、2 、 P37 A组 1 组
2.圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆 C 的方程 圆心为 半径为 2 2 2 ( x − a ) + ( y − b) = r 为_______________________. 为什么? 为什么?
如果M(x0,y0)是圆上的点,那么它到圆心的距离 ( x0 − a )2 + ( y0 − b )2 = r , 一定等于半径,即 也就是 ( x0 − a)2 + ( y0 − b)2 = r 2 ,这说明它的坐标(x0,y0) 是方程 ( x − a)2 + ( y − b)2 = r 2 的解;