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E zL( x)
z


H K (J )
对于（5），在等效源无需作用的情况下，在某些情况下能化简场得到简洁的表达式，此表
达形式一般用于计算远场：
对于（6），对场点作用在格林函数 G 中，对源点作用在等效源点，一般用于计算近场。
V1
V2
S
磁导体
电导体
V2
S
(c)
(d)
第三种等效：如图（d）所示，假设 S 内填充理想导磁体，这样
S 内场为 0;由互易定理可

J S 的作用，使其在 S 外产生的
知理想磁体面上的磁流源不会产生辐射，故我们只需考虑


场与原问题相同，需满足 J S n H ，由边界连续性条件可知，此等效问题

AAm
m
t

2 AAm

2 Am



Jm
t 2
2 m
m
A

t 2
U
2
m
m
A
H m
t


通过以上 4 式可以计算 H 的解。
3 赫兹矢量
赫兹矢量特别适合于计算发生极化和磁化时产生的二次场,令

A
A 2 J t （ J t 电流密度矢量的无散部分）
t
2
（2）优越性：通过在规范条件下，A 和 Φ 之间的关系：

2



A

2
； A
；



J
A
t
t 2

A
E
t
（3）矢量位分量表示的电磁场
a.条件：对于时谐场；当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量电位 A 忽然矢量磁位
m
e
m m
, e , A
, m
t
t
e 为电赫兹矢量， m 为磁赫兹矢量

2 e
1
P
2 2 Jdt
t


2
e

2 m
1 m
M
2 m 2 2 J dt

条件：在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由 AD 0 引入矢量电位
（1）
Am 及标量磁位 mv
D Am

(H
Am
)0
t
m
由标量函数的梯度的旋度为零，引入标量磁位

H
。使得其满足
Am
m
t
m
m
（2） 特点：矢量电位 A 及标量磁位
TM 波引用 ru
通过引用这些标量，就能够简化 E 和 H 的计算复杂度。在电磁场问题中，有时采用矢
量磁位和矢量电位的各一对应分量作为独立标量是十分有利的。
举例：对直角坐标系下取

m
1 Az
A ez Az ， A 0 。我们可以得 Hx
，
y
Hy
2 Az
j ( A
) j ( A
)
j
j
j ( A
……
（5）
A
1
) j [1 2 ]JGd r
2

k
另一种是将（2），（4）代入（1）中得
E j A j ( A

)
j
场与原问题相同，需满足 M S E n ，由边界连续性条件可知，此等效问题 S 外的场切向

分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导电体上等效磁流 M S 产生场地问题。

n

E, H







J S n H
EH 0


E, H

EH 0

M S E n
V1
A 后。总电磁场为电型源和磁型源产生的场之和，即：
m




j
1
E 2 ( A J ) Am
k


1
j
H A 2 ( Am J m )

k
对于无源区可得


在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于 B 0 ①


引入矢量磁位 A 满足 B A ②


将上式带入法拉第电磁感应定律，得： ( E A ) 0 ③
t


由于标量函数的旋度为零，引入标量位 Φ，满足 E A ④

t

A
由上式得 E
高等电磁理论作业
一． 举例说明为什么引入位函数，怎样引入。
问题：有源区非其次矢量波动方程或非其次矢量赫姆赫兹方程中的场源分布形式十分复
杂，直接求比较困难。为了求解有源区场，可仿照经太长引入矢量和标量位函数求解，一
下将介绍利用各种位函数求解电磁场的方法，从而得出各种位函数的优缺点及应用条件。
分析：
1.矢量磁位 A 和标量电位 Φ
(1)是原课题，界面 S 内有电流，磁流源，这些源在 S 面内部和外部产生
E1 , H 1 和 E2 , H 2 ，
设一个等效课题，在 S 面上设有等效电磁流源，满足在 S 面外产生与原课题相同的场分布，
而在面内场为 0；



n E , H
2
2

E2 , H 2

n



J,M
E1
MS


可灵活的规定 A 和 Φ 之间的关系，以简化辅助位 A 和 Φ 的方程。
矢量磁位 A 和标量电位 Φ 在库仑规范下满足一下关系：



2 A

A 2 J (
)⑩
t
t
2
②在库仑规范下矢量磁位 A 的源始电流密度的无散部分或横向电流：




2 A
1
j [ J 2 ( J )]Gd r
k
从而得到
……
（6）
H J Gd r
为了书写简洁，引入记号 L, K
L( x) jk [ x
1
( x)]Gd r
k2
K ( x) x Gd r
则电磁场便可写作
Hr j
2 (ru )
k
(
2
r 2
k 2 ru ) ， H j
E
1 1 v
1 v
, E
，
sin

1 2 (ru )
1 2 (ru )
，
H


k 2 r r
jk 2 r sin r
这是关于人的 TE 波，v 满足齐次标量亥姆霍次方程


j
1
E 2 A Am
k

①

1
j
H A 2 Am

k

②



在球圆坐标系中，如果取 A Arer ruer . 。 A 0
m

Am ， A 带入 1，2 式中得 Hr=0,
)

t
t
t

m
故： A
和
m
'm
不具有唯一性。是任意的。但是场量任然是不变的，利用对偶原理：
m 0
的条件下，矢量电位
在 AA

m
m
AA
t
ห้องสมุดไป่ตู้
m
Jm
A
的源是磁流密度
2 AAm
的无散射部分

2 Am
m



J



m
t 2
t
（3） 优越性：在洛伦磁规范条件下：
Er
2 (ru )
jk
(
2
r 2
H
k 2 ru ) ， E
1 2 (ru )
jk 2 r r
1 1
u sin
， E
， H
u
，


1 2 (ru )
jk 2 r sin r
如果取
m

A Ar m er er rv, A 0 代入①，②式。Er=0,
⑤
t
由此可见，只要求出辅助位 A 和 Φ，则可根据以上分析求解出电磁场。
（1）特点：①A 和 Φ 是不唯一的，均具有任意性，现取另一标量函数 U,定义转换关系:

A A U ⑥
U ⑦




将上式代入①，④得到： B A ( A U ) A ⑧

A
(r ) ……
j
（2）
（3）
1
也可以通过求解 2 k 2
(r )
1
j
j
J 得到，即
J (r)G(r r)d r ……
（4）
E 有两种形式，一种是将（2），（3）代入（1）中得
E j A


m
m
是 A 和 也具有唯一性。
m
引入标量函数 U ,定义变量函数 U
和矢量电位 A 及标量磁位 具有对偶性，可
m
A' Am U
' m
m

U
t
m
m
( A' U ) A'
m
m
U ( A' U )
A'
'm
H (
m
关于 z 的 TE 波。
b.特点和优越性
m
在无源区，对关于 z 的 TE 波，在直角坐标系，圆柱坐标系下就可以用一个变量 A ，
Az 来表示，同理可知关于 x 的 TE，TM 在两坐标系的情况，y 的 TE,TM 在两坐标系的情
况。
对于德拜位函数的引用是球坐标系中，也只需要引用一个标量的 TE 波引用 rv，r 的
第一种等效：如图（b）所示，假设
S 内的场为0；S上有等效电磁源



J S n H ；
M S E n ；
由边界连续性条件可知，此等效问题 S 外的场切向分量与原问题相同，根据唯一性定理可
知此问题与原问题在 S 外的场分布式相同的，因为 S 内的场为 0，因而我们可进一步设
S





在直角坐标系取 A ez Az . A 0. Az 满足 ： A Z +k Az 0
m


m
2
2
如果取 A ez Az . A 0. Az 满足 ： A Z +k Az 0
m
m

2

m
2
m
m

同理可得在圆柱坐标系下， A ez Az 表示波是关于 z 的 TM 波， A ez Az 表示的波也是
内填充与 S 外相同的均匀介质，这样原问题便等效成 S 面上等效电磁源 J S ， M S 在均匀
介质中产生场地问题。
第二种等效：如图（c）所示，假设 S 内填充理想导电体，这样
S 内场为 0;由互易定理可

M S 的作用，使其在 S 外产生的
知理想导体面上的电流源不会产生辐射，故我们只需考虑



EH 0
H1

JS
V1
V1
S
V2
V2
S
(1)
(2)
下面介绍常用的三种等效形式，具体如下图所示

n

E, H
n


E

E, H

J,M



M S E n


EH 0

H



J S n H
V1
V1
S
V2
V2
S
（a）
图（a）为原问题
(b)


J S ， M S ，满足
S 外的场切向

分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导磁体上等效磁流 J S 产生场地问题。
第一种的解析解：在自由空间中
H 0
根据
A 0 H A ( E j A) 0 E j A ……（1
）
选择 A j


A
U

A
⑨
E
(
) ( A U )
t
t
t
t
可见，经过变换，场量仍不变，利用规范函数 U 的任意性，可以构成无限多个辅
助位 A 和 Φ，但却仍得到同样的电磁场，也就是说，虽然 A 和 Φ 是不唯一的，均具
有任意性，大门由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。同时利用此规范，
2 Az
2
1 Az
， Hz 0 ， Ex
，
，
E

E

( 2 k 2 ) Az 。
y
z
2
2
2
jk xz
jk yz
jk z
x
求复杂的电场问题就可以简化。
对电场和磁场问题直接就与一个 Az 有关， Az 通过齐次标量亥姆霍次方程求得。
2.矢量电位 Am 及标量磁位 mv
t




在无源区理想介质中，方程中 P 及时极化强度， M 就是磁化强度，说明电赫兹矢量 和
e
磁赫兹矢量 分别是由极化强度和磁化强度产生的场
m
二.推导等效原理和感应定理公式及应用
等效原理：
（一）．公式推导


等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理，可用下图进行介绍：

2
A k 2 A J ， 2 k 2
因为标量亥姆霍兹的标量格林函数为： G ( r r ) e
jk r r
1
j
J
4 r r
其中 r 为源点位置， r 代表场点位置，于是
A(r ) J (r )G (r r )d r ……