零件寿命与预测

标题：零件的寿命与利润

内容：设某种零件的寿命t (小时)服从指数分布()e λ.密度为

e , 0,()0, 0.

t t f t t λλ-⎧=⎨<⎩≥ (1) 求它的平均寿命T .

(2) 假设生产一个平均寿命为T 的零件成本为

220.03C T T =+,

使用该零件每小时收益5元,问T 应取何值使利润期望值最大?

(3) 在(2)中,若零件寿命小于50小时要赔偿300元,问平均寿命应为多少使利润期望值最大?

应用背景：

根据零件寿命的密度函数，计算其平均寿命，从而进一步研究平均寿命与利润期望值的关系.

涉及知识点：

知识点一：指数分布

知识点二：数学期望

解题方法：

计算零件寿命的数学期望，导出利润与平均寿命的表达式，并进一步进行优化.

解题过程：

第一步：

(1) 平均寿命为

01()e d t T E t t t λλλ+∞

-===

⎰.

第二步：

(2)当零件寿命为t 时,利润为

2()5(20.03)P t t T T =-+,

因此利润的期望

E (P )=E (5t )-( 2T+0.03T 2)=3T -0.03T 2. 由d ()0d E P T

=得,当T = 50时利润的期望值为最大.

第三步：

(3)记这时的利润为P 1,赔偿为K ,则P 1=P -K ,而

50

500

()300e d 300(1e )t E K t λλλ--==-⎰,

50123

0.03

()()()300(1e )E P E P E K λλλ-=-=---,

由 50123d ()30.0615000e 0d E P λλλλ

-=-+-=, 得 3505000e 0.02λλλ-+= .

将此方程写成 2500.0215000e

λλλ-=+ 注意λ≈0.02进行迭代,得λ=0.0136135. T =1/λ=73.46, 即平均寿命为73.46小时.

进一步问题：

若零件的成本函数为230.01C T T =+，其他条件不变，则(2)和(3)的结果有何变化？