数学毕业论文求函数极限的若干方法

数学毕业论文-求函数极限的若干方法

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

求函数极限的若干方法

The Methods of Functional Limit

姓名

学号 090003

学院数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

指导老师讲师

完成时间7>2013年4月19日

求函数极限的若干方法

摘要在数学分析中极限思想贯穿于始末求极限的方法也显得至关重要极限包括数列的极限与函数的极限两类极限的本质上是相同的其中数列极限是函数极限的特例因此本文只就函数极限进行讨结合例题本文阐述了求函数极限的十三种方法包括利用无穷小量洛必达法则泰勒公式中值定理等求极限关键词函数极限洛必达法则泰勒公式中值定理

The Methods of Functional Limit

AbstractIn the mathematical analysis the limit idea runs through the whole story The methods of the limit are crucial Limit includes the sequence limit and functional limit Essence of the two kinds of limit is the same and the sequence limit is a special case of functional limit therefore this paper only discusses the functional limit With the examples this paper discusses thirteen methods of functional limit including the use of infinitesimal L Hospital Rule Taylor formula the mean value theorem and so on

Key wordsfunctional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem

目录

1 引言1

2 函数极限的定义及作用 1

3 函数极限的计算及多种求法 2

31利用左右极限求极限 2

32 利用极限运算法则求极限 3

33 利用初等变形求函数极限 3

com 约分法 3

com 有理化法 4

com高次幂法 4

34 利用迫敛性求函数极限 5

35 利用两个重要极限公式求函数极限 5

36 利用变量替换求函数极限7

com价无穷小量替换来求极限7

com 利用其他替换来求极限8

37 利用无穷小量的性质求函数极限8

38 利用初等函数的连续性质求函数极限9 39利用导数的定义求函数极限 9

310 利用洛必达法则求函数极限10

com 型不定式极限 10

com 型不定式极限 11

com 其它类型不定式极限12

311幂指函数求函数极限13

com 的极限均为有限常数即型的极限求法13 com 型未定式极限问题13

312利用泰勒公式求函数极限14

313 利用中值定理求函数极限16 参考文献17

1 引言

数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算主要内容是微积分在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的可以说没有极限理论就没有微积分众所周知常见的求极限的方法包含四则运算夹逼准则无穷小量重要极限公式洛必达法则等但实际在求极限时并不是依靠单一方法而是把多种方法加以综合运用对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点本文给出了十三种求极限的方法每种方法都是以定理或简述开头然后以例题来全面展示具体的求法下面就根据函数的特点分类进行讨论

2 函数极限的定义及作用

定义1设函数在点的某空心邻域内有定义为定数若对任给的存在正数＜使得当时有则称函数当时以为极限记作

或

定义2设为定义在上的函数为定数若对任给的存在正数使得当时有

则称函数当趋于时以为极限记作

或

对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义

A 当- x- 0时fxA

A 当0 x- 时fx- A

当x M时fx- A

当x -M时fx- A

在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题

例1 用极限定义证明 1

证由

取则当0 x-2 时就有

由函数极限-定义有 1

3 函数极限的计算及多种求法

极限一直是数学分析中一个重要的内容并且函数极限运算是数学分析的一个重要的基本运算极限的求法也是多种多样的本文通过归纳总结出一些极限的计算方法

31利用左右极限求极限

定理1函数极限f存在且等于A的充分必要条件是左极限f 及右极限f都存在且都等于A即有 Af f A

此类方法多用于求分段函数极限问题

例2

求在的极限

解

32 利用极限运算法则求极限

这是求极限的基本方法主要应用函数的和差积商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算为此有时往往要对函数作一些变形定理2若 f x A gx B

1[f x ±g x ] f x ± g x AB

2 [ f x ·g x ] f x · g x A·B

3 若B≠0 则

4 C·f x C·f x CA C为常数

上述性质对于→→→-时也同样成立例

例3 求

解

33 利用初等变形求函数极限

在求函数极限时利用简单的初等变形可使极限易于计算初等变形的方法有约分法有理化比较最高次幂法等

com 约分法

适用于计算型函数极限如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子特别是零因子时可通过约简式计算极限值

例4 计算的值为正整数

解原式

注意要首先将分子分母因式分解找到公因子特别是零因子接着即可约去公因子再求函数极限

com 有理化法

在求解存在根号的函数极限时通过选择分子或分母或分子分母同时有理化约去零因子即可转化为一般的极限问题

例5 其中