数学毕业论文求函数极限的若干方法

数学毕业论文-求函数极限的若干方法
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文
求函数极限的若干方法
The Methods of Functional Limit
姓名
学号 090003
学院数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导老师讲师
完成时间7>2013年4月19日
求函数极限的若干方法
摘要在数学分析中极限思想贯穿于始末求极限的方法也显得至关重要极限包括数列的极限与函数的极限两类极限的本质上是相同的其中数列极限是函数极限的特例因此本文只就函数极限进行讨结合例题本文阐述了求函数极限的十三种方法包括利用无穷小量洛必达法则泰勒公式中值定理等求极限关键词函数极限洛必达法则泰勒公式中值定理
The Methods of Functional Limit
AbstractIn the mathematical analysis the limit idea runs through the whole story The methods of the limit are crucial Limit includes the sequence limit and functional limit Essence of the two kinds of limit is the same and the sequence limit is a special case of functional limit therefore this paper only discusses the functional limit With the examples this paper discusses thirteen methods of functional limit including the use of infinitesimal L Hospital Rule Taylor formula the mean value theorem and so on
Key wordsfunctional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem
目录
1 引言1
2 函数极限的定义及作用 1
3 函数极限的计算及多种求法 2
31利用左右极限求极限 2
32 利用极限运算法则求极限 3
33 利用初等变形求函数极限 3
com 约分法 3
com 有理化法 4
com高次幂法 4
34 利用迫敛性求函数极限 5
35 利用两个重要极限公式求函数极限 5
36 利用变量替换求函数极限7
com价无穷小量替换来求极限7
com 利用其他替换来求极限8
37 利用无穷小量的性质求函数极限8
38 利用初等函数的连续性质求函数极限9 39利用导数的定义求函数极限 9
310 利用洛必达法则求函数极限10
com 型不定式极限 10
com 型不定式极限 11
com 其它类型不定式极限12
311幂指函数求函数极限13
com 的极限均为有限常数即型的极限求法13 com 型未定式极限问题13
312利用泰勒公式求函数极限14
313 利用中值定理求函数极限16 参考文献17
1 引言
数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算主要内容是微积分在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的可以说没有极限理论就没有微积分众所周知常见的求极限的方法包含四则运算夹逼准则无穷小量重要极限公式洛必达法则等但实际在求极限时并不是依靠单一方法而是把多种方法加以综合运用对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点本文给出了十三种求极限的方法每种方法都是以定理或简述开头然后以例题来全面展示具体的求法下面就根据函数的特点分类进行讨论
2 函数极限的定义及作用
定义1设函数在点的某空心邻域内有定义为定数若对任给的存在正数＜使得当时有则称函数当时以为极限记作
或
定义2设为定义在上的函数为定数若对任给的存在正数使得当时有
则称函数当趋于时以为极限记作
或
对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义
A 当- x- 0时fxA
A 当0 x- 时fx- A
当x M时fx- A
当x -M时fx- A
在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题
例1 用极限定义证明 1
证由
取则当0 x-2 时就有
由函数极限-定义有 1
3 函数极限的计算及多种求法
极限一直是数学分析中一个重要的内容并且函数极限运算是数学分析的一个重要的基本运算极限的求法也是多种多样的本文通过归纳总结出一些极限的计算方法
31利用左右极限求极限
定理1函数极限f存在且等于A的充分必要条件是左极限f 及右极限f都存在且都等于A即有 Af f A
此类方法多用于求分段函数极限问题
例2
求在的极限
解
32 利用极限运算法则求极限
这是求极限的基本方法主要应用函数的和差积商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算为此有时往往要对函数作一些变形定理2若 f x A gx B
1[f x ±g x ] f x ± g x AB
2 [ f x ·g x ] f x · g x A·B
3 若B≠0 则
4 C·f x C·f x CA C为常数
上述性质对于→→→-时也同样成立例
例3 求
解
33 利用初等变形求函数极限
在求函数极限时利用简单的初等变形可使极限易于计算初等变形的方法有约分法有理化比较最高次幂法等
com 约分法
适用于计算型函数极限如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子特别是零因子时可通过约简式计算极限值
例4 计算的值为正整数
解原式
注意要首先将分子分母因式分解找到公因子特别是零因子接着即可约去公因子再求函数极限
com 有理化法
在求解存在根号的函数极限时通过选择分子或分母或分子分母同时有理化约去零因子即可转化为一般的极限问题
例5 其中
解原式
注意此题是通过分子有理化来简化运算在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化
com高次幂法
此方法是指除以分子分母的最高次幂来计算函数极限
例6 设求
解因为
则
34 利用迫敛性求函数极限
定理3迫敛性设且在某内有则
做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限
例7 求的极限
解且由迫敛性知
1
35 利用两个重要极限公式求函数极限
两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现利
用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限一般常用的方法是换元法和配指数法
例8 求
解
例9 求
解
注意以后还会用到的另一种极限形式事实上令则所以
例10 求极限
解
36 利用变量替换求函数极限
为了将未知的极限化简或转化为已知的极限可根据极限式的特点适当引入新变量以替换原有的变量使原来的极限过程转化为新的极限过程最常用的方法就是等价无穷小的替换当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时可采用换元的方法加以变形使之简化易求
com价无穷小量替换来求极限
定义3所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量记作定理4设函数在内有定义且有
1若则
2若则
由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限
例11 求的极限
解由而
故有
注 1 由上例可以看出欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量
注 2 在利用等价无穷小代换求极限时应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换如上式中若因有而推出的则得到的结果是错误的
小结在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换无穷小等价替换可以很好的简化解题
com 利用其他替换来求极限
利用变量替换进行极限计算要灵活多变
例12 求
解令则
37 利用无穷小量的性质求函数极限
性质1无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
性质2无穷小量与无穷大量的关系若在自变量的同一变化过程中f x 为无穷小量且f x ≠0则为无穷大量反之亦然
例13 求
解因为
例14 求
解因为-4 05x 10所以我们可以求出 0
这就是说当x→2时为无穷小量由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量所以为x→2时的无穷大量即
注意 1无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量例如当x→是无穷小量2x个这种无穷小之和的极限显然为2
2无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量
3无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量例如当 x→时是无穷大量是有界量显然·→1
38 利用初等函数的连续性质求函数极限
这种方法适用于求函数在连续点处的极限利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果
若f x 在处连续则 f x f
若x Ay f u 在u A处连续则f[ x ] f A
若f x A 0 g x B则
例15 求7x-6
解因为y 7x-6是初等函数在定义域内是连续的所以在x 1处也连续根据连续的定义极限值等于函数值
所以7x-6 7-6 0
39利用导数的定义求函数极限
定义4导数的定义函数在附近有定义若极限存在则称函数在点处可导并称该极限为函数在点处的导数记为在这种方法的运用过程中首先要选好然后把
所求极限表示成在定点的导数
例16 求
解取则
310 利用洛必达法则求函数极限
以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则利用洛必达法则求极限由于分类明确规律性强且可连续进行运算可以简化一些较复杂的函数求极限的过程但运用时需注意条件
com 型不定式极限
定理6若函数和满足
在点的某空心邻域内两者都可导且
为实数也可为或
则
注意若将定理中换成只要相应地修正条件中的邻域也可得到同样的结论
例17 求
解容易检验与在的邻域里满足定理的条
故由洛必达法则求得
在利用洛必达法则求极限时为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便可用适当的代换
例18 求
解这是型不定式极限可直接运用洛必达法则求解但是比较麻烦如作适当的变换计算上就会更方便些故令当时有于是有
com 型不定式极限
若满足如下定理的条件即可由如下定理计算出其极限
定理7若函数和函数满足
在点的某空心邻域内两者都可导且
为实数也可为或
则
注意若将定理中换成只要相应地修正条件中的邻域也可得到同样的结论例19 求
解由定理得
com 其它类型不定式极限
不定式极限还有等类型这些类型经过简单的变换都可以化为型和型的不定式极限
例20 求
解这是一个型的不定式极限作恒等变形将它转化为型的不定极限并用洛必达法则得到
例21 求
解这是一个型的不定式极限作恒等变形
所以
例22 求为常数
解这是一个型的不定式极限按上例变形的方法先求型的极限然后得到
例23 求
解这是一个型的不定式极限类似地先求其对数的极限型注意运用洛比达法则应注意以下几点
1要注意条件也即是说在没有化为时不可求导
2应用洛必达法则要分别的求分子分母的导数而不是求整个分式的导数
3 要及时化简极限符号后面的分式在化简以后检查是否仍是未定式若遇到不是未定式应立即停止使用洛必达法则否则会引起错误
311幂指函数求函数极限
一般来说幂指函数是形如的函数幂指函数求极限在数学分析中比较常见由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点对幂指函数求极限又显得比较困难下面我介绍两种常用方法
com 的极限均为有限常数即型的极限求法
命题1 且A和B为有限数A 0则有
例24 求极限
解因为
由上述定理得
com 型未定式极限问题
命题2 设有连续函数和在自变量的某个变化过程中则
例25 求极限
解
注对于型未定式的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等式的形式转换为型或型不定式然后再利用洛必达法则进行求解
例26 求极限
解令则当时那么
312利用泰勒公式求函数极限
定义5[1] 若函数在阶导数则有 - --- 1
这里-为佩亚诺型余项称 1 为函数在点的泰勒公式
当 0时1式变为称此式为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
常见函数的麦克劳林公式
为了简化极限运算有时可用某项的泰勒公式来代替该项使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限就能简洁地求出函数极限
例27 求
解本题可用洛比达法则来求解但是运算过程比较繁琐在这里可用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为我们用麦克劳林公式表示极限的分子因而求得
313 利用中值定理求函数极限
定理8 拉格朗日微分中值定理若函数满足 1 在上连续 2 在可导则在内至少存在一点使
例28 求
解由
定理9 积分中值定理设函数在闭区间上连续则至少存在
使得
例29 求
解由积分中值定理
所以
以上方法是在数学分析求解极限的重要方法在做求解极限的题目时仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的必须要细心分析仔细甄选选择出适当的方法这样不仅准确率更高而且会省去许多不必要的麻烦起到事半功倍的效果这就要求学习者要吃透其精髓明了其道理体会出做题的窍门达到这样的境界非一日之功必须要多做题善于总结日积月累定会熟能生巧在做题时得心应手
从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格我们应具体问题具体分析不能机械地用某种方法对具体题目要注意观察有时解题可多种方法混合使用要学会灵活运用
参考文献
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III。