量子光学基础第一章
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9
第一节 量子力学的基本原理
物理学中各学科的基本理论都是建立在几个基本定律或 假设的基础上的， 经典力学的基本理论是牛顿三定律, 电磁学的基础是Maxwell方程组，它对应电磁场中四个基本 定律，Faraday电磁感应定律、Ampere环路定律和电场与磁场 的Gauss定理， 热学的基础是热力学三定律。第一定律是能量守恒定理,热 力学第二定律是熵增原理 。 量子力学基本原理是五个假设:系统状态用波函数来表述、 力学量用算符表示、Schrö dinger方程，力学量平均值公式和 全同性原理。 下面分别叙述：
17
ˆ F 1 (r t ) 1 1 (r t )
第一节量子力学的基本原理
力学量F的不确定量大小由均方差根表示
1 2 ˆ F [ ( F F ) ] 2
测不准关系为
1 ˆ ˆ FG [ F , G ] 2
1 1 ˆ, p ˆ x ] i [ x 2 2 2
ˆ 与B ˆ 是对易 ，称 A 的。算符运算类似于矩阵运算 .
15
ˆ ˆ BA ˆˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ 若两个算符满足 AB
第一节量子力学的基本原理
对于坐标和动量可以证明
ˆx p ˆ x x i xp
其他力学量算符用以下方法得到：将各力学量用经典 力学方法写成坐标和动量的函数，然后将其中坐标和动 量变成算符，就得到其他力学量算符。 例如角动量算符
量子光学基础
（3学时，3学分）
北京邮电大学理学院
杨伯君
1
绪
论
量子光学是用量子理论研究光的量子特性以及光与 物质相互作用的量子特性的科学。它是量子力学与量子 场论在光学中的应用. 光的量子性在量子力学建立以前已为人们所认识:
1900年,为了解释热辐射的频谱分布,Planck第一个提出 光的量子性,引入能量子的概念.
是归一化的， 1 (r t ) 是算符F的本征态，
1 (r t )
在本征态上测力学量有确定的数值。 ˆ ˆ和 B 若两个力学量算符 A 相互对易，则它们有共同 的本征函数，在共同本征态上两力学量A和B能同时确 定。 ˆ 和 B ˆ不对易，在同一态上这两 若两个力学量算符 A 力学量A和B不能同时确定，其不确定量由测不准关系来 表示。
显示
p k ....E
在这条基本原理中最重要的是如何正确理解 波函数的物理 意义。波函数在空间某处的强度 2 是和该处发现粒子的概 率成正比，ψ称为概率振幅 。 微观粒子的波动性,由Danson-German电子衍射实验所证实。
11
第一节量子力学的基本原理
波的强度是振幅的绝对值平方
5
绪
论
理学院申请到一个国家重点基础研究发展计划（973计划 ）课题：《基于表面等离激元效应的光子-电子相互作用的量 子调控研究》。光子-电子相互作用是量子光学研究的内容， 为了帮助部分同学能更好地投入这一课题研究，我们课程将 书中第六章《光孤子传输的量子理论》改为《表面等离体激 元中的量子效应》，将介绍表面等离体激元的量子化，光子 与表面等离体激元的相互作用，表面等离体激元在金属表面 的传输，光子与表面等离体激元之间量子态的转移以及表面 等离体激元的压缩与纠缠性质。这些有利于同学们深入了解 表面等离子体激元的量子特性，对研究其在量子通信和量子 计算中的应用有重要意义。
n t i E (r t ) un (r )e cn
n
2 2 ˆ Hun (r ) [ V (r )]un (r ) Enun (r ) 2m
称定态Schrö dinger方程,un (r ) 形成一个正交完备系. 正交性 u ( r ) u ( r n m )dv mn
u ( r ) u ( r ) ( r r ) n n
n
其中
mn
百度文库
和 (r r ) 分别为Knonecker和Diracδ 函数。
19
第一节量子力学的基本原理
简单谐振子作为用Schrö dinger方程求解的实例。质量
为1的谐振子的Harmilton量算符
对坐标与动量
xp x
对时间和能量 E 2
,原子能态的寿命
h
E
18
第一节量子力学的基本原理
4，在非相对论量子力学中波函数ψ（rt）满足的动力学方程是 Schrö dinger方程 2 ˆ [ i H 2 V (r )] t 2m 若势函数不显含t，取 代入前式得到
ˆ ˆ ˆ ˆ Lrp r i
哈密顿算符
2 1 ˆ ˆ (r ) 2 V (r ) ˆ 2 V H p 2m 2m
16
第一节量子力学的基本原理
3，在状态ψ（rt）上测量物理量F的平均值 ˆ F F dV (r t ) F (r t )
20
第一节量子力学的基本原理
引入振子湮没与产生算符
ˆ a
1 ˆ ip ˆ )a ˆ (q 2
1 ˆ ip ˆ) (q 2
系统的Harmilton量
1 1 ˆ 1p ˆ 2 2q ˆ 2 (a ˆ a ˆ ) H 2 2 2 N个振子能量本征值与本征态： 1 1 n ˆ ） E n （n ） n （a 0 2 n！
4
绪
论
量子光学分为半经典理论和全量子理论两部分： 量子光学半经典理论，光场用经典Maxwell电磁场理论 来描述，光与物质相互作用用量子力学处理，这就是方程 中介质的电极化强度用量子力学计算，这一理论可以用来 研究激光器的阈值条件、频率牵引、相位锁定和功率特 性，讨论四波混频、受激拉曼散射等。 量子光学全量子理论，要求电磁场和原子、分子系统 都量子化；讨论光子场与物质场相互作用，用来研究激 光线宽、光场非经典效应、光学压缩态、激光场中原子 动力学和激光致冷等。 本课程主要从光通信研究需要介绍量子光学基本知识， 包括激光器，光在光纤中产生各种量子效应，量子噪声、 光孤子、光学压缩态等，光学压缩态在量子通信中有重要 的应用。
3
绪 论
量子光学作为一个学科建立起来是在1960年激光器发现 以后，高强度的激光出现使物理光学发生深刻变化，表现为： 1、高阶相干性的产生，高强度的激光可以实现强度相干， 产生高阶相干性。 2、非线性光学出现，高功率激光射入介质引起明显的非线 性效应，如光孤子、光子回声、四波混频、光学混沌等； 3、光场的集体量子效应，光子反聚束效应、亚泊松分布和 压缩态等，这些是大量光子的集体效应，是光场的非经典效 应； 4、在激光场作用下原子系统的量子动力学特性，崩塌与再 生效应、原子相干捕获，激光致冷效应等。 这些现象的研究形成量子光学内容。量子光学是用量子理 论研究光的量子特性，以及光与物质相互作用量子特性的科 学。
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ p ˆ q ˆ H q 2 2 2 2 q 2
2 d 2u ( q ) 1 2 2 q u(q) Eu(q) 2 2 dq 2 方程可转化为Hermite方程求解得 能量本征值 En (n 1 ) 2 谐振子归一化的波函数 q 1 un (q) ( 1 ) 2 H n (q )e 2 2 n!2 n 其中 Hermite多项式：
j 1
12
第一节量子力学的基本原理
2，在量子力学中系统的物理量F用线性厄 ˆ 来表示。 米算符 F
ˆ 满足 算符 F
ˆ (c c ) c F ˆ c F ˆ F 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ 为线性算符，线性 其中 c1,c2 为常数， F
算符要求来源于波函数要满足状态叠加原 理。 ˆ 若 F 1 1 λ为常数称为本征值，为本征函数 1
6
绪
论
课程分以下几章： 1、量子力学的基础知识 2、激光的半经典理论 3、电磁场的量子化 4、电磁场与原子的相互作用 5、光学压缩态 6、表面等离子体激元中的量子效应 参考书：杨伯君，量子光学基础，1996，北邮出版社。 此书可在网上下载。 考核;作业，译文加考勤。
7
网上教材
量子光学基础
8
第一章 量子力学的基础知识
10
第一节量子力学的基本原理
1，量子力学系统的状态用波函数 (r t ) 来描述
电子与中子的衍射实验显示出微观粒子具有波动性，假定 微观粒子的状态用波函数来描述，表示为 (r t )，式中r是位 置，t为时间。 自由粒子，de Broglie建议用平面波来描述 i ( p.r Et ) i ( k .r t ) (r t ) Ae Ae
1905年,Einstein为解释光电效应,提出光量子的概念,给 出光子的能量为E=hν,ν是光的频率，h是Planck常数。
1917年 ,Einstein利用光量子概念唯象地解释了光在原子 中的吸收与辐射，提出了受激辐射的概念. 光的量子性提出,为量子力学的建立和发展起重要作用.
2
绪
论
量子力学建立于1925-1926年,Draic与海森堡的矩阵 力学和Schrö dinger的波动力学。 上世纪60年代前量子力学与物理光学独立发展。物 理光学实验大都利用经典电磁场理论来解释。1909年 Tayler利用很弱光束、长时间照射双缝干涉，希望观 测单光子通过双缝干涉的量子效应，没有成功。一阶 振幅相干实验显示不出干涉过程中的量子效应。要显 示干涉过程中的量子效应不是简单振幅相干，而应是 振幅平方即强度相干。 1956年Hanbury，Brown和Twiss进行了光子计数器 之间的相干，即二阶相干实验，称HBT实验。它是量 子光学的开创性实验。
13
第一节量子力学的基本原理
算符的Hermite性要求对任意函数ψ、φ，满足以 下关系 ˆ ˆ FdV (F ) dV 若ψ=φ称自厄算符,算符的厄米性要求来源于物 理量的平均值必须是实数。 波函数的自变量是坐标时，坐标是乘算符，动量 是微分算符有
ˆx ˆy ˆz p ...p ...p i x i y i z ˆ ˆ ˆ ˆ p i j k i x y z
14
第一节量子力学的基本原理
算符的运算规则 ˆ B ˆ ，且 A, 算符相等：若 A ψ 是任意的， ˆ B ˆ 。 则 A B, 算符加减：对任意波函数ψ ˆ B ˆ F ˆ , 则 A ˆB ˆA ˆ F ˆ B ˆ , 则 ˆ G A ˆA ˆ B ˆ G C, 算符乘法:对任意态矢量 ˆˆ ˆ AB ˆˆ 则 ˆ AB F F 算符乘法一般不满足交换律，即
其中 是的复共轭函数，在t时刻，空间r附近体积元dV中找 到粒子的几率dW为
dW (rt ) dV
2
2
波函数满足单值、连续和有限的要求，满足归一化条件
2
(rt )
dV 1
n
为了解释干涉和衍射现象，要求波函数满足状态叠加原理：
c1 1 c2 2 ...... cn n c j j
定态Schrö dinger方程
2 2
基态波函数 （n=0）
d n x 2 H（ e （ 1 ） ne n x） dx
x2
n
H （ 1H （ 2x H （ 4x 2 2 0 x） 1 x） 2 x）
由 2 / 2 q 14 2 u0 ( q ) ( ) e
量子力学是处理物质微观现象的基本理论，它是近代 物 理：包括原子分子物理、固体物理、半导体物理、原子核物 理和粒子物理等学科的基础，也是量子光学的基础。 由于工科院校大学物理中近代物理讲得很少，大多专 业也不开量子力学，为了学习量子光学必需复习量子力学 的基础知识。 本章分以下几节： 1) 量子力学的基本原理； 2）量子力学的表述； 3）二能级原子模型； 4）密度矩阵。 参考书：彭金生，李高翔，近代量子光学导论，科学出版 社，1996。
第一节 量子力学的基本原理
物理学中各学科的基本理论都是建立在几个基本定律或 假设的基础上的， 经典力学的基本理论是牛顿三定律, 电磁学的基础是Maxwell方程组，它对应电磁场中四个基本 定律，Faraday电磁感应定律、Ampere环路定律和电场与磁场 的Gauss定理， 热学的基础是热力学三定律。第一定律是能量守恒定理,热 力学第二定律是熵增原理 。 量子力学基本原理是五个假设:系统状态用波函数来表述、 力学量用算符表示、Schrö dinger方程，力学量平均值公式和 全同性原理。 下面分别叙述：
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ˆ F 1 (r t ) 1 1 (r t )
第一节量子力学的基本原理
力学量F的不确定量大小由均方差根表示
1 2 ˆ F [ ( F F ) ] 2
测不准关系为
1 ˆ ˆ FG [ F , G ] 2
1 1 ˆ, p ˆ x ] i [ x 2 2 2
ˆ 与B ˆ 是对易 ，称 A 的。算符运算类似于矩阵运算 .
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ˆ ˆ BA ˆˆ AB ˆ ˆ BA ˆˆ 若两个算符满足 AB
第一节量子力学的基本原理
对于坐标和动量可以证明
ˆx p ˆ x x i xp
其他力学量算符用以下方法得到：将各力学量用经典 力学方法写成坐标和动量的函数，然后将其中坐标和动 量变成算符，就得到其他力学量算符。 例如角动量算符
量子光学基础
（3学时，3学分）
北京邮电大学理学院
杨伯君
1
绪
论
量子光学是用量子理论研究光的量子特性以及光与 物质相互作用的量子特性的科学。它是量子力学与量子 场论在光学中的应用. 光的量子性在量子力学建立以前已为人们所认识:
1900年,为了解释热辐射的频谱分布,Planck第一个提出 光的量子性,引入能量子的概念.
是归一化的， 1 (r t ) 是算符F的本征态，
1 (r t )
在本征态上测力学量有确定的数值。 ˆ ˆ和 B 若两个力学量算符 A 相互对易，则它们有共同 的本征函数，在共同本征态上两力学量A和B能同时确 定。 ˆ 和 B ˆ不对易，在同一态上这两 若两个力学量算符 A 力学量A和B不能同时确定，其不确定量由测不准关系来 表示。
显示
p k ....E
在这条基本原理中最重要的是如何正确理解 波函数的物理 意义。波函数在空间某处的强度 2 是和该处发现粒子的概 率成正比，ψ称为概率振幅 。 微观粒子的波动性,由Danson-German电子衍射实验所证实。
11
第一节量子力学的基本原理
波的强度是振幅的绝对值平方
5
绪
论
理学院申请到一个国家重点基础研究发展计划（973计划 ）课题：《基于表面等离激元效应的光子-电子相互作用的量 子调控研究》。光子-电子相互作用是量子光学研究的内容， 为了帮助部分同学能更好地投入这一课题研究，我们课程将 书中第六章《光孤子传输的量子理论》改为《表面等离体激 元中的量子效应》，将介绍表面等离体激元的量子化，光子 与表面等离体激元的相互作用，表面等离体激元在金属表面 的传输，光子与表面等离体激元之间量子态的转移以及表面 等离体激元的压缩与纠缠性质。这些有利于同学们深入了解 表面等离子体激元的量子特性，对研究其在量子通信和量子 计算中的应用有重要意义。
n t i E (r t ) un (r )e cn
n
2 2 ˆ Hun (r ) [ V (r )]un (r ) Enun (r ) 2m
称定态Schrö dinger方程,un (r ) 形成一个正交完备系. 正交性 u ( r ) u ( r n m )dv mn
u ( r ) u ( r ) ( r r ) n n
n
其中
mn
百度文库
和 (r r ) 分别为Knonecker和Diracδ 函数。
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第一节量子力学的基本原理
简单谐振子作为用Schrö dinger方程求解的实例。质量
为1的谐振子的Harmilton量算符
对坐标与动量
xp x
对时间和能量 E 2
,原子能态的寿命
h
E
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第一节量子力学的基本原理
4，在非相对论量子力学中波函数ψ（rt）满足的动力学方程是 Schrö dinger方程 2 ˆ [ i H 2 V (r )] t 2m 若势函数不显含t，取 代入前式得到
ˆ ˆ ˆ ˆ Lrp r i
哈密顿算符
2 1 ˆ ˆ (r ) 2 V (r ) ˆ 2 V H p 2m 2m
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第一节量子力学的基本原理
3，在状态ψ（rt）上测量物理量F的平均值 ˆ F F dV (r t ) F (r t )
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第一节量子力学的基本原理
引入振子湮没与产生算符
ˆ a
1 ˆ ip ˆ )a ˆ (q 2
1 ˆ ip ˆ) (q 2
系统的Harmilton量
1 1 ˆ 1p ˆ 2 2q ˆ 2 (a ˆ a ˆ ) H 2 2 2 N个振子能量本征值与本征态： 1 1 n ˆ ） E n （n ） n （a 0 2 n！
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绪
论
量子光学分为半经典理论和全量子理论两部分： 量子光学半经典理论，光场用经典Maxwell电磁场理论 来描述，光与物质相互作用用量子力学处理，这就是方程 中介质的电极化强度用量子力学计算，这一理论可以用来 研究激光器的阈值条件、频率牵引、相位锁定和功率特 性，讨论四波混频、受激拉曼散射等。 量子光学全量子理论，要求电磁场和原子、分子系统 都量子化；讨论光子场与物质场相互作用，用来研究激 光线宽、光场非经典效应、光学压缩态、激光场中原子 动力学和激光致冷等。 本课程主要从光通信研究需要介绍量子光学基本知识， 包括激光器，光在光纤中产生各种量子效应，量子噪声、 光孤子、光学压缩态等，光学压缩态在量子通信中有重要 的应用。
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绪 论
量子光学作为一个学科建立起来是在1960年激光器发现 以后，高强度的激光出现使物理光学发生深刻变化，表现为： 1、高阶相干性的产生，高强度的激光可以实现强度相干， 产生高阶相干性。 2、非线性光学出现，高功率激光射入介质引起明显的非线 性效应，如光孤子、光子回声、四波混频、光学混沌等； 3、光场的集体量子效应，光子反聚束效应、亚泊松分布和 压缩态等，这些是大量光子的集体效应，是光场的非经典效 应； 4、在激光场作用下原子系统的量子动力学特性，崩塌与再 生效应、原子相干捕获，激光致冷效应等。 这些现象的研究形成量子光学内容。量子光学是用量子理 论研究光的量子特性，以及光与物质相互作用量子特性的科 学。
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ˆ p ˆ q ˆ H q 2 2 2 2 q 2
2 d 2u ( q ) 1 2 2 q u(q) Eu(q) 2 2 dq 2 方程可转化为Hermite方程求解得 能量本征值 En (n 1 ) 2 谐振子归一化的波函数 q 1 un (q) ( 1 ) 2 H n (q )e 2 2 n!2 n 其中 Hermite多项式：
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第一节量子力学的基本原理
2，在量子力学中系统的物理量F用线性厄 ˆ 来表示。 米算符 F
ˆ 满足 算符 F
ˆ (c c ) c F ˆ c F ˆ F 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ 为线性算符，线性 其中 c1,c2 为常数， F
算符要求来源于波函数要满足状态叠加原 理。 ˆ 若 F 1 1 λ为常数称为本征值，为本征函数 1
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绪
论
课程分以下几章： 1、量子力学的基础知识 2、激光的半经典理论 3、电磁场的量子化 4、电磁场与原子的相互作用 5、光学压缩态 6、表面等离子体激元中的量子效应 参考书：杨伯君，量子光学基础，1996，北邮出版社。 此书可在网上下载。 考核;作业，译文加考勤。
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网上教材
量子光学基础
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第一章 量子力学的基础知识
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第一节量子力学的基本原理
1，量子力学系统的状态用波函数 (r t ) 来描述
电子与中子的衍射实验显示出微观粒子具有波动性，假定 微观粒子的状态用波函数来描述，表示为 (r t )，式中r是位 置，t为时间。 自由粒子，de Broglie建议用平面波来描述 i ( p.r Et ) i ( k .r t ) (r t ) Ae Ae
1905年,Einstein为解释光电效应,提出光量子的概念,给 出光子的能量为E=hν,ν是光的频率，h是Planck常数。
1917年 ,Einstein利用光量子概念唯象地解释了光在原子 中的吸收与辐射，提出了受激辐射的概念. 光的量子性提出,为量子力学的建立和发展起重要作用.
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绪
论
量子力学建立于1925-1926年,Draic与海森堡的矩阵 力学和Schrö dinger的波动力学。 上世纪60年代前量子力学与物理光学独立发展。物 理光学实验大都利用经典电磁场理论来解释。1909年 Tayler利用很弱光束、长时间照射双缝干涉，希望观 测单光子通过双缝干涉的量子效应，没有成功。一阶 振幅相干实验显示不出干涉过程中的量子效应。要显 示干涉过程中的量子效应不是简单振幅相干，而应是 振幅平方即强度相干。 1956年Hanbury，Brown和Twiss进行了光子计数器 之间的相干，即二阶相干实验，称HBT实验。它是量 子光学的开创性实验。
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第一节量子力学的基本原理
算符的Hermite性要求对任意函数ψ、φ，满足以 下关系 ˆ ˆ FdV (F ) dV 若ψ=φ称自厄算符,算符的厄米性要求来源于物 理量的平均值必须是实数。 波函数的自变量是坐标时，坐标是乘算符，动量 是微分算符有
ˆx ˆy ˆz p ...p ...p i x i y i z ˆ ˆ ˆ ˆ p i j k i x y z
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第一节量子力学的基本原理
算符的运算规则 ˆ B ˆ ，且 A, 算符相等：若 A ψ 是任意的， ˆ B ˆ 。 则 A B, 算符加减：对任意波函数ψ ˆ B ˆ F ˆ , 则 A ˆB ˆA ˆ F ˆ B ˆ , 则 ˆ G A ˆA ˆ B ˆ G C, 算符乘法:对任意态矢量 ˆˆ ˆ AB ˆˆ 则 ˆ AB F F 算符乘法一般不满足交换律，即
其中 是的复共轭函数，在t时刻，空间r附近体积元dV中找 到粒子的几率dW为
dW (rt ) dV
2
2
波函数满足单值、连续和有限的要求，满足归一化条件
2
(rt )
dV 1
n
为了解释干涉和衍射现象，要求波函数满足状态叠加原理：
c1 1 c2 2 ...... cn n c j j
定态Schrö dinger方程
2 2
基态波函数 （n=0）
d n x 2 H（ e （ 1 ） ne n x） dx
x2
n
H （ 1H （ 2x H （ 4x 2 2 0 x） 1 x） 2 x）
由 2 / 2 q 14 2 u0 ( q ) ( ) e
量子力学是处理物质微观现象的基本理论，它是近代 物 理：包括原子分子物理、固体物理、半导体物理、原子核物 理和粒子物理等学科的基础，也是量子光学的基础。 由于工科院校大学物理中近代物理讲得很少，大多专 业也不开量子力学，为了学习量子光学必需复习量子力学 的基础知识。 本章分以下几节： 1) 量子力学的基本原理； 2）量子力学的表述； 3）二能级原子模型； 4）密度矩阵。 参考书：彭金生，李高翔，近代量子光学导论，科学出版 社，1996。