攻克圆锥曲线解答题的策略

攻克圆锥曲线解答题的策略

第一、知识储备:

1. 直线方程的形式

(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

(2) 与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率k = tag ，工三［0,二)

(3) 弦长公式

直线y =kx 上两点A^,%), BXy)间的距离：AB =：匚1 k 2 -X 2

(4) 两条直线的位置关系

① h _ l 2 k i k 2=-1 ② IJ/Su k i 二 k 2 且 b i = b 2

2、圆锥曲线方程及性质

(1) 、椭圆的方程的形式(三种形式)

2 2

标准方程： — —=1(m 0, n 0且 m = n)

m n 距离式方程：

、、、(x c)2 y 2 , (x _c)2 y 2 2a

参数方程：x = acosr, y =bsin

(2) 、双曲线的方程的形式(两种形式)

2 2

标准方程：——=1(m ： 0)

m n

距离式方程：| , (x • cf £ _、& -c)2 • y 2 \= 2a

⑶、三种圆锥曲线的通径

2 2

椭圆：也；双曲线：生；抛物线:2p

a a ⑷、圆锥曲线的定义

2 2

已知F 2是椭圆 亍专"的两个焦点，平面内一个动点 M 满足MF_, - MF 2| =2则动点M 的轨迹是(

)

A 、双曲线；

B 、双曲线的一支；

C 、两条射线；

D —条射线

②点到直线的距离“ Ax 册C ③夹角公式：tan _|£

=(1 疋)[(为 X 2)2 rxN]

或 AB y i 一 y 2

⑸、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S 号PF 2二b 2tan^

2 日

P 在双曲线上时，S ?1 PF ^ b cot-

/廿宀

|PF . |2 +| PF 2 |2 -4c 2 T T 、 （其中 F 1PF 2 卞却」1|詔|佳|，PF 1 -PF 2 T PF 1 11 PF 2|C0-）

(6)、记住焦半径公式：

(1)椭圆焦点在x 轴上时为a_ex );焦点在y 轴上时为a_ey °，可简记为 左 加右减，上加下减”。

(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e| & | _a

(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x 「—,焦点在y 轴上时为I y 「卫 2 2

⑹、椭圆和双曲线的基本量三角形

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个 参数怎

么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 -0， 以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 “知％)月&2』2)，将这两点代入曲线

方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元 ............. ，若有两个字母未知数，则要找

至沱们的联系，消去一个，比如直线过焦点，贝冋以利用三点 A 、B 、F 共线解决之。若有向量 的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为

y 二kx • b ，

就意味着k 存在。

例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆4x 2 5y^80上，且点A 是椭圆短轴的一个端点(点 A 在y 轴正半轴上)•

(1) 若三角形ABC 勺重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;

(2) 若角A 为900，AD 垂直BC 于 D,试求点D 的轨迹方程. 例2、如图，已知梯形ABCD 中 AB -2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线

设 A x i , y i 、B X 2, y 2 ，

=1的弦AB 中点则有 =1，

两式相减得十.十=0 X i - X 2

X i X 4 y i -y 2 y i y 2 _ — —屮 3 k AB = 3a 4b

过C、D E 三点，且以A、B为焦点当＜-时，求双曲线离心率e的取值范围。

3 4

2 2

例3已知双曲线c丄2X_ _i，直线I过点A ,2,0，斜率为k，当0 ：：：k ：：：1时，双曲线的上支上

2 2

有且仅有一点B到直线I的距离为.2，试求k的值及此时点B的坐标。

例4已知椭圆C:和点P (4, 1),过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上

取点Q,使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程•

2 2

例5设直线I过点P( 0，3)，和椭圆—•乂 "顺次交于A B两点，试求的取值范围.

9 4

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF・FB=1，|OF| =1.

(I)求椭圆的标准方程；

(n)记椭圆的上顶点为M，直线I交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线I，使点F恰为■ PQM 的垂心？若存在，求出直线I的方程;若不存在，请说明理由。

例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、B(2,0)、C 1号三占

八、、・

(I)求椭圆E的方程：

(n)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(-1,0), H(1,0)，当厶DFH内切圆的面积

最大时，求△ DFH内心的坐标；

例&已知定点C(-1,0)及椭圆x23y^ 5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.

⑴若线段AB中点的横坐标是-*，求直线AB的方程;

(n)在x轴上是否存在点M，使MA MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由•

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2, 1),平行于OM勺直线I在y轴上的截距为m(m^0)，I交椭圆于A、B两个不同点。

(I)求椭圆的方程；

(n)求m的取值范围；

(川)求证直线MA MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

例10、已知双曲线冷=1的离心率e =差，过A(a,0),B(0,—b)的直线到原点的距离是—.

a b 3 2