解析几何的解题思路方法与策略

解析几何的解题思路、方法与策略

高三数学复习的目的, 一方面就是回顾已学过的数学知识, 进一步巩固基础知识, 另一方面, 随着学生学习能力的不断提高, 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复, 而就是有对所学知识进一步理解的需求, 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等, 所以高三数学复习既要“温故” , 更要“知新” , 既能引起学生的兴趣, 启发学生的思维, 又能促使学生不断提出问题, 有新的发现与创造, 进而培养学生问题研究的能力.

以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略就是高中平面解析几何的核心内容, 也就是高考考查的重点.每年的高考卷中,一般有两道选择或填空题以及一道解答题, 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用, 而解答题注重对数学思想方法与数学能力的考查,重视对圆锥曲线定义的应用, 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查.

解析几何在高考数学中占有十分重要的地位,就是高考的重点、热点与难点.通过以圆锥曲线为主要载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强.基于解析几何在高考中重要地位,这一板块知识一直以来都就是学生在高三复习中一块“难啃的骨头” .所以研究解析几何的解题思路,方法与策略,重视一题多解,一题多变,多题一解这样三位一体的拓展型变式教学,就是老师与同学们在高三复习一起攻坚的主题之一.本文尝试以笔者在实际高三复习教学中,在教辅教参与各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路与方法策略.

一、一道直线方程与面积最值问题的求解与变式

例1 已知直线l 过点(2,1)M - ,若直线l 交x 轴负半轴于A,交y 轴正半轴于B,O 为坐标原点、 (1)设AOB ∆的面积为S ,求S 的最小值并求此时直线l 的方程; (2)求OA OB +最小值; (3)求M MA B ⋅最小值.

解:方法一:∵直线l 交x 轴负半轴,y 轴正半轴,设直线l 的方程为

(2)1(0)y k x k =++>,∴）（0,12k

k A --

)12,0(+k B ,

(1)∴4221

22)12(2≥++=+=

k k k k S , ∴当

1)22

=k （时,即412=k ,即 21=k 时取等号,∴此时直线l 的方程为22

1

+=x y 、

(2)322321

1221+≥++=+++=

+k k k k OB OA ,当且仅当22k =时取等号; (3)4212)1)(11(244112

22222≥++=++=+⋅+=

⋅k k

k k k k MB MA , 当且仅当1k =时取等号; 方法二:设直线截距式为

)0,0(1><=+b a b y a x ,∵过点(2,1)M -,∴11

2=+-b

a (1)∵ab

b a -≥+-

=2

2121, ∴822≥-⇒≥-ab ab ,∴421

21≥-==

∆ab b a S AOB ; (2)322)2(3))(12(+≥+-=+-+-=+-=+=+b

a

a b b a b a b a b a OB OA ;

(3)5)1

2)(2(52)1()2(2-+-+-=-+-=-++-=⋅-=⋅b

a b a b a b a MB MA MB MA

422≥-+-=a

b b a .

(3)方法三: θsin 1=MA ,θcos 2

=MB ,

∴42sin 4cos sin 2≥==⋅θ

θθMB MA ,当且仅当12sin =θ时最小,∴4π

θ=.

变式1:原题条件不变,(1)求△AOB 的重心轨迹;(2)求△AOB 的周长l 最小值.

解:(1)设重心坐标为(,)x y ,且(,0)A a ,(0,)B b ,则3a x =,3b y =, 又∵11

2=+-

b

a ,∴13132=+-

y x , ∴2

332312332)23(3123+-=+-

+=+=x x x x x y ,该重心的轨迹为双曲线一部分; (2)令直线AB 倾斜角为θ,则2

0π

θ<<,又(2,1)M -,过M 分别作x 轴与y 轴的垂线,垂足为,E F ,

则θsin 1=

MA , θcos 2

=MB ,θtan 1=AE ,θtan 2=BF ∴)2

0(tan 2tan 1cos 2sin 13πθθθθθ<<++++

=l 2

sin 2cos )2cos 2(sin

22cos 2sin 22cos 23cos )sin 1(2sin cos 132222

θθθ

θθθθθθθθ-+++

=++++=

)420(12

cot )2cot 1(22cot 3π

θθθ

θ<<-+++=,

令12

cot -=θ

t , 则t>0, ∴周长10)

2(213≥++

++=t

t t l ∴32

cot

212

cot

=⇒=-θ

θ

。

变式2:求AB OB OA -+的最小值.(留给读者参照变式1,自行解决)

点评:由于三角函数具有有界性,均值不等式有放大与缩小的功能,在解析几何中遇上求最值的问题,可构建三角函数与均值不等式,合理地放大缩小,利用有界性,求得最值.

圆锥曲线的最值问题, 解法一般分为两种: 一就是几何法, 特别就是用圆锥曲线的定义与平面几何的有关结论来处理非常巧妙; 二就是代数法, 将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题, 然后利用基本不等式、 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值; 二、涉及到抛物线的相关题目与证明 例2 证明抛物线的焦点弦定值、 设直线AB:2

p x ty =+

,与抛物线2

2y px =交于,A B 两点,则有如下一些结论: ①2

21p y y -=,2124p x x =;②12AB x x p =++2

2sin p

θ

=; ③

112AF BF p +=; ④23

4

OA OB p ⋅=-. 证明:方法一:设),(),(2211y x B y x A 、

由⎪⎩

⎪⎨⎧+

==222p

ty x px y ,得0222=--p pty y ,0442

22>+=∆p t p 、 ① 2

21p y y -=,则4

44222

2

42212

22121p p p p y y p y p y x x ===⋅=、 ② 作l AA ⊥1,l BB ⊥1,,假设11AA BB ≥,211p x AA AF +==,2

21p

x BB BF +==, 设1BAA θ∠=,

∴p x x BF AF AB ++=+=21, ∵221212p y y pt

y y -==+,

∴p p t p p

p y y y y p p p y y AB ++=+-+=++=)24(21

]2)[(212222212212

22

1