第六节 双曲线-高考状元之路

第六节 双曲线
预习设计 基础备考
知识梳理 1．双曲线的概念
平面内到两定点
21,F F 的距离之差的 等于常数（大于零且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的 两焦点间的距离叫
集合,2||,2||||||{2121c F F a MF MF M p ==-=其中a 、c 为常数且}.0,0>>c a (1)当 时，P 点的轨迹是 (2)当 时，P 点的轨迹是 (3)当 时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3．等轴双曲线
等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为),0(2
2
=/=-λλy x 离心率=e 渐近线方程
为
典题热身
1．过双曲线822=-y x 的左焦点1F 有一条弦PQ 在左支上，若2,7||F PQ =是双曲线的右焦点，则
Q PF 2∆的周长是( )
28.A 2814.-B 2814.+C 28.D
答案：C
2．（2011．安徽高考）双曲线8222=-y x 的实轴长是( )
2.A 22.B 4.C 24.D
答案：C
3．(2011.湖南高考)设双曲线)0(192
22>=-a y a
x 的渐近线方程为,023=±y x 则a 的值为 ( ) 4.A 3.B 2.c 1.D
答案：C
4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为,02=-y x 则它的离心率为( )
5.A 25
.B 3.C 2.D
答案：A
5．(2011．江西高考)若双曲线
1162
2=-m
x y 的离心率,2=e 则=m 答案：48
课堂设计 方法备考
题型一 双曲线的定义及其应用
【例1】已知动圆M 与圆2)4(:2
2
1=++y x c 外切，与圆:2c 2)4(2
2
=+-y x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线
11692
2=-y x 有共同的渐近线，且过点);32,3(- (2)与双曲线14
162
2=-y x 有公共焦点，且过点).2,23(
题型三 双曲线的几何性质及其应用
【例3】中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点,,21F F 且,132||21=F F 椭圆的长半轴与双曲线方程实半轴之差为4，离心率之比为3:7．
(1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．
题型四 直线与双曲线的位置关系
【例4】已知椭圆1C 的方程为,14
22
=+y x 双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． (1)求双曲线2c 的方程
(2)若直线⋅+=2:kx y l 与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围．
技法巧点
(1)两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心． (2)焦点到渐近线的距离等于虚半轴长6．
(3)与双曲线12222=-b
y a x 共用渐近线的双曲线的方程可设为).0(22
22=/=-t t b y a x
(4)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“l”为“O”就得
到两渐近线方程，即方程022=-b y a x 就是双曲线12
2=-b
y a x 的两条渐近线方程．
失误防范
1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中,2
22c b a +=而在双曲线中.2
2
2
b a
c +=
2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率).1,0(∈e
3．双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程是=y )0,0(1,2
2>>=-±b a b x a
y x a b 的渐近线方程
是.x b
a y ±
= 4．若利用弦长公式计算，在涉及直线斜率时要注意说明斜率是否存在．
5．直线与双曲线交予一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点，
随堂反馈
1．（2011．福建泉州模拟）已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线19
16:2
2=-y x C 的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则P
si A sin |
.sin |-的值等于( )
54..A 47.B 4
5
.C 7.D
答案：A
2．(2011．广东汕头模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近
线的距离为,2则双曲线方程为( )
2.22=-y x A 2.22=-y x B 1.22=-y x C 2
1.22=
-y x D 答案：A
3．(2011．浙江金丽衢联考)若双曲线122=-b y a x 的一条渐近线方程为,03
=+y x
则此双曲线的离心率为
(． )
10103.
A 3
10
.B 22.C 10.D 答案：B
4．（2010．全国课标卷）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，-2)，则它的离心率为 ( )
6.A 5.B 26.c 25
.D
答案：D
5．（2011．南京模拟）已知抛物线)0(22
>=P Px y 的焦点F 恰好是双曲线122
2=-b
y a x 的右焦点，且双
曲线过点),2,3(2
2P b P a 则该双曲线的渐近线方程为
答案： x y 4
10
±
=
高效作业 技能备考
一、选择题
1．（2011．浙江温州十校联考）在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线)0,0(12
2>>=-b a b
y a x 的左焦点
F 作圆=+2
2y x 2
a 的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P ，若M 为FP 的中点，则||||MT OM -
等于 ( )
a b A -. b a B -. 2
.
b
a c +
b a D +. 答案：A
2．（2011．合肥一中模拟）已知双曲线>>=-b a b
y a x ,0(122
22)0的一条渐近线的方程为,034=-y x 则
此双曲线的离心率为( )
54.A 45.B 53.c 3
5
.D 答案：D
3．(2011．广州一中月考)过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与
双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若,2
1
=则双曲线的离心率是( )
2.A
3.B 5.C 10.D
答案：C
4．（2010．山东济宁期末）已知点F 是双曲线>=-a b
y a x (122
22)0,0>b 的左焦点，点E 是该双曲线的右
顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离
心率是 （ ）
2.A 2.B 21.+C 22.+D
答案：B
5．（2011．广东深圳模拟）已知双曲线的两个焦点为,10(1-F M F ),0,10()02、是此双曲线上的一点，
且满足,021=⋅MF MF ,2=则该双曲线的方程是 ( )
19.22=-y x A 19..22
=-y x B 173
.22=-y x c 137.22=-y x D
答案：A
6．(2011．浙江高考)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b
y a x C 与双曲线14:22
2=-y x C 有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则( )
213.2=
a A 13.2=a B 2
1.2=b c
2.2
=b D 答案：C
二、填空题．
7．(2011．上海张堰中学模拟)若,0>m 点)2
5
,(m p 在双曲线15422=-y x 上，：则点P 到该双曲线左焦点的距离为 答案：2
13
8．(2011．山东泰安模拟)P 为双曲线115
2
2
=-y x 右支上一点，M 、N 分别是圆4)4(22=++y x 和1)4(22=+-y x 上的点，则||||PN PM -的最大值为
答案：5
9．已知点P 是双曲线122
22=-b
y a x 上除顶点外的任意一点，21F F 、分别为左、右焦点，C 为半焦距，
21F PF ∆ 内切圆与21F F 切于点M ，则=⋅||||21M F M F 答案：2
b
三、解答题
10．(2011．江苏启东中学模拟)已知双曲线P y x C ,14
:22
=-为C 上的任意点． (1)求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)设点A 的坐标为(3，O)，求|PA|的最小值．
11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，O)，右顶点为).0,3( (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线：)0,0(=/=/+=m k m kx y 与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A （O ，-1），求实数m 的取值范围．
12．（2011．山东日照模拟）已知离心率为
5
4
的椭圆的中心在原点 ，焦点在 x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为.342
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接PA 并延长交椭圆于点N ，若,=求四边形ANBM 的面积，。