等差数列前N项和的性质及其应用

肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案

授课教师：吴晗 班级：高一（11） 时间：3月31号下午第一节课 课题：等差数列前n 项和的性质及其应用 教学目标：

（1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一

些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n

项和公式研究n S 的最值。

（2） 经历公式应用过程。

（3） 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又

服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学方法解决问题。

教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。 教学难点：灵活应用求和公式解决问题。 教学方法：启发探究 学法指导：自主学习

教学用具：粉笔、黑板、PPT 教学过程： 一、复习回顾

（1） 等差数列的定义、通项公式、性质； （2） 等差数列前n 项和公式及其推导。 二、新课讲解

探究一：等差数列前n 项和公式可以转化为关于n 的一元二次方程，

n d

a n d d n n na S n )2

(22)1(121-+=-+=，

反过来如果一个数列的前n 项和是关于n 的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？

例1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为n n S n 2

1

2+=，求这个数列的通项公式，

这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 解：时，当2≥n 212)1(21)1(21221-=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+--+

=-=-n n n n n S S a n n n 时，当1=n 2

3

11=

=S a 也满足上式。

所以数列{}

2

12-=n a a n n 的通项公式为 由此可见，{}的等差数列，公差为是一个首项为数列22

3

n a

课堂练习

1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为12

1

2++

=n n S n ，求这个数列的通项公式，这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 课本第45页的探究

等差数列前n 项和的性质一：{}2,2A

Bn An S a n n 公差为是等差数列数列+=⇔

探究二：既然等差数列的前n 项和n S 是关于n 的一元二次方程，那么它的最值怎么求呢？

例2：已知等差数列 1,3,5的前n 项和为n S ，求使n S 最大的序号n 的值？ 解1：由已知条件知，该等差数列首项2-,51==d a 公差 9)3(6)2(2

)

1(522+--=+-=--+

=n n n n n n S n ∴使n S 最大的序号n 的值为3.

解2：由已知条件知，52,72)1(251+-=+-=--=+n a n n a n n

由⎩⎨⎧≤≥+0

01n n a a 解得2725≤≤n

3=∴n

等差数列前n 项和的性质二：

不等式法求n S 的最值：若且0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+00

1

n n a a ，则n S 有最大值，若

且0,01>

1n n a a ，则n S 有最小值。

也可以用二次函数的图像求最值，但要注意*N n ∈.

例3：已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，求证：())(,,12186126S S S S S --也成等差数列。

解：设等差数列首项为1a ，公差为d ，则有：

d a S d a S d a S 15318,6612,156********+=+=+= d a S S d a S S 876,576112181612+=-+=-∴ d S S S S d S S S 36)()(,36)(61212186612=---=--∴ ∴())(,,12186126S S S S S --是等差数列，公差为36d

等差数列前n 项和的性质三：

若果数列{}n a 为等差数列，则 ,,,232k S S S S S k k k k --也成等差数列，公差为d k 2。 课堂练习：

2、已知{}n a 是等差数列：

（1）=++=++=++987654321,,10,5a a a a a a a a a 则 ，

=++212019a a a 。

（2）===n n n S S S 32,100,25则 。

3、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2=d ，若14=S ，求20191817a a a a +++ 例4：有一等差数列共有)(2*N n n ∈项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项和第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数。 解：由题意知：

⎩⎨

⎧

=-=-==5.10)12(6-12d n a a nd S S n

奇偶

等差数列前n 项和的性质四：

若等差数列{}n a 共有n 2项，则1

,

-+=

=n n

a a S S nd S S 偶

奇奇偶， 若等差数列共有12-n 项，则1--==n n

S S a S S 偶奇中偶奇，

课堂练习：

4、若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2=d ，求 （1）)()(10864297531a a a a a a a a a a ++++-++++ （2）

8

6429

7531a a a a a a a a a +++++++

三、课堂小结

等差数列前n 项和的性质：

等差数列前n 项和的性质一：{}2

,2A

Bn An S a n n 公差为是等差数列数列+=⇔

等差数列前n 项和的性质二：不等式法求n S 的最值：若且0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+0

1n n a a ，

5

.1,4==d n 解得：8

2

3

23，项数为，公差为首项为∴.

23,24124117531=∴=+=+++a d a a a a a 又