圆环形电流的磁场分布

圆环形电流的磁场分布
福建省石狮市石光中学
陈龙法
摘 要
本文详细推算岀圆环形电流的磁场分布（包括磁标势、磁感应强度） ，证明了圆电流平面上圆内的磁感应强
度为r 的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。

设圆环形电流强度为 I
，圆半径为 R 。

，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐 标系。

如图所示。

用半径为 R o
的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满
足拉普拉斯方程
▽2
°
耐=0 (r<R o )，
V 2
°m2
=° (r>R o )
r=R o
的球面上，' mi 和爲2满足边值关系:
「m2 八二1
〉f
e r 「「m2 一 ' mi = 0
解上列⑴⑵⑶⑷式得:
P n cos i 亠 一 na n R°14P n cos 二-°
n
日—一 I ， I 是圆环中的电流强度 '、、2 丿
二可按连带勒让德函数展
n -1
a
n R
°
d
j
b n dP n COST
萨—
f
开: 2n 1 n -1!
平石比 fnPgep 2 (n +1!
P n COS^
由于具有轴对称性，磁标势与方位角 0无关，所以满足边界条件
的通解可取为：
a n r n
P n COST
m2
有限
(r<R o
)
m2
K
借巳COST
r
(r>R o
)
(r I )
n 1 b n
其中，面电流密度
R o
r
又P n COSJ「dP d0^，P2k 0 =0，卩2「1 0 = -1
k! 2于是⑸⑹式可化为：
Z a n R；' -R n^ Pn(cosT )=—占瓦na n R0’Pn(cos日)
n i R0 J R0 n
、n n12bn P n COST 、、n3n Ro J P n COS^ =0
n R°n
于是得到系数a n和b n满足的方程：
n」b n a n R0 'VI.
R0
b「丄a n R^— 0
n 1
解⑻⑼式，当n=2k时，有：
b2k -a2k R04k1 =0
b
2k氏a2kR T "
这是关于a2k和b2k的齐次方程组，其系数行列式
-R：k1
2k
2k 1
所以方程组只有零解，即
a2k - b2k - 0
当n=2k+1时，有:
b2k 1 _ 1 k 1 _I 4k * 3 2k !
£k 3一R0 2k 2 22k 1 k!2
解得:
a2k 1
I 2k !
R；k1 k!222k1(11)
I 2n 1
2k
a2k 1 R0
b2k1 菩a2「R4k3
-0
b i
k Ip 2k2
2k 12k!
b 2k 1 - - I IR 0
2T7
2
(2k+2p 2k41(k!)2
由⑽(11)(12)及⑴⑵式，得到球内外的磁标势：
于是球内外的磁感应强度为:
2k
R o k!222ki R o ?
k 1P
2ki C0
"
er
/ 、2k 书一
R o 2k 2k!222ki 7 _
2k 2P
2ki C
妙
er
根据(15)(16)式，当 时，利用
2
便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为:
2k 3
(r>R o )
从7式知，
dBi
「
0 ,故圆电流平面上圆内的磁感应强度 dr
I
B i r 为极小，有B i 0
—，这正是用毕奥一萨伐尔定律求出的圆电流中心的磁感应强度。

2R
(2001/10/22
)
mi
k+
I
(一
1)
RT k^vU ki C 。

^ (r<R o
)
(13)
'm2
=11
k
-1*2
2k 边2
：! ”*』"0
^
(r>R o
)
(r<R o
)
(15)
(r>R。

)
(16)
a k
e
日
R 0
-
(r<R o
)
(17)
其中
滋1
],
(2k +121k (k!l
如+1
卩 k —
2k 2 24k
k! 4
B
厂-％mi 二
-1
k
k I 2k ! B 2 T m2 f -1
k 1
2k
^!
k
df 1 COST
d ：
dP 2k i 曲 1
k
2k 1!
7)両尹
d(cos^)
(18)
B ! r 为 r 的单调增函数。

当r=0时,。