正弦函数、余弦函数的图像 课件

五点描出后，余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像的形状也
就基本上确定了．
2．利用三角函数图像解三角不等式的步骤： (1)作出相应的正弦函数或余弦函数的图像； (2)写出在[0，2π]上适合不等式的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集．
②描点：
③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得 所求的图像．
(2)画法：①列表：
x
0
sin x
0
－sin x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0
－1 0 1 0
②描点： ③连线：用平滑曲线依次连接各点，即可得到所求图像．
[一点通] 作形如 y＝asin x＋b(或 y＝acos x＋b)，x∈[0，2π] π
1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图像叫正弦曲线．
2．正弦函数图像的画法
(1)几何法： ①利用 正弦线 画出y＝sin x，x∈[0，2π]上的图像； ②将图像向左、向右 平行移动(每次2π个单位)．
(2)五点法：
画出正弦曲线在[0，2π]上的图像的五个关键点 (0，0)，
(
π
2 ，1)，
集合为{x|π6 ＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z}．
(12分)
法二：(利用单位圆中三角函数线)
如图(2)，在0≤x＜2π中，满足sin
x≥
1 2
的角x的集合为
{x|π6 ≤x≤5π6 }．
(10分)
因此当x∈R时，
集合为{x|π6 ＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z}．
(12分)
[一点通] 正、余弦函数图像的作用主要有：解三角不 等式，确定交点个数及求定义域等，具体地确定范围时，应 先确定出[0，2π]上的范围，再向左向右扩展，即得整个实 数集上的范围．求交点个数时图像务必准确．
1．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫余弦曲线．
2．余弦函数图像的画法
π(1)要得到
y＝cos
x
的图像，只须把
y＝sin
x
的图像向左平
π
移 2 个单位长度便可，这是由于 cos x＝ sin(x＋ 2 ) ．
(2)用“五点法”：画余弦曲线 y＝cos πx 在[0，2π]上的图 像(3时2π，，所0)取，的(2五π个，关1) 键，点再分用别光为滑：的(0曲，线1)，连(接2 ．，0)，(π，－1) ，
3．方程lg x＝sin x的实根的个数为________．
解析：在同一坐标系中作 y＝lg x和y＝sin x的图像 如图所示，两图像有三个 交点，即方程lg x＝sin x有 三个实数根． 答案：3
4．函数y＝ 2cos x－ 2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只要2cos x－ 2≥0即 cos x≥ 22.由余弦函数图像知(如图)．
(π，0)
，(3π 2 ，－1)， (2π，0)
，用平滑的曲线
连接.
问题1：根据诱导公式能得到某一角的正弦与x的余
弦之间的等量关系吗？
π 提示：可以， sin( 2 ＋x)＝cos x.
π 问题2：根据关系式sin(x＋ 2 )＝cos x怎样才能得到y＝
cos x的图像？ 提示：将正弦曲线向左平移π2 个单位即可．
[精解详析] 法一：(利用三角函数的图像)
如图(1)，画出y＝sin x在x∈[0，2π]内的图像， (4分)
其中直线y＝12与y＝sin
π x的交点M，M′的横坐标分别是 6 ，
5π 6
，故在0≤x＜2π中满足sin
x≥
1 2
的角x的集合为{x|
π 6
≤x≤
5π 6 }．
(10分)
因此当x∈R时，
π 4 ＋2kπ]，k∈Z.
π
π
答案：[－ 4 ＋2kπ， 4 ＋2kπ]，k∈Z
5．求函数y＝lg( 3－2sin x)的定义域． 解析：由 3－2sin x＞0得sin x＜ 23，结合函数y＝sin x的图像得－ 4π 3 ＋2kπ＜x＜π3 ＋2kπ，k∈Z. ∴函数y＝lg(1－2sin x)的定义域是(－4π 3 ＋2kπ，π3 ＋ 2kπ)，k∈Z.
[例1] 画下列函数的简图： (1)y＝1＋cos x，x∈[0，2π]； (2)y＝－sin x，x∈[0，2π]．
[思路点拨] 按照列表、描点、连线三个步骤， 利用“五点法”作图像．
[精解详析] (1)画法：
①列表：
x
0
ππ 2
3π 2
2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
2．作出函数y＝ 1－sin2x的图像．
解：y＝ 1－sin2x＝ cos2x＝|cos x|. 由对称性易知，只需作出y＝cos x的图，把x轴下方的图翻折 到x轴上方即可，其图像如图所示．
[例2] (12分)写出使sin x≥12(x∈R)成立的x的取值集合． [思路点拨] 首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图像，再由 图像写出[0，2π]上满足不等式的解集，最后扩展到R上 去．也可以用三角函数线来求解．
1．用描点法画三角函数图像可分为三个步骤：列表、 描点、连线．
2．用几何法画y＝sin x的图像就是利用单位圆中的正 弦线，该方法作图较准确，但画图较繁琐．
3．利用“五点法”画正、余弦函数的图像，就是先描出 正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个 点，再用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和 余弦曲线在一个周期内的图像．
6．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个 封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
解：利用“五点法”作出 y＝2cos x 的图 像，它与 y＝2 围成的封闭图形如图． 由图可知，x 轴下方的阴影部分与 x 轴 上方①②两部分面积相同，故所求面积为一矩形面积即 S ＝2π×2＝4π.
的图像时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表取 x＝0， 2 ， π，3π 2 ，2π；②描点；③用光滑曲线连线成图．这是一种基本作 图方法，应该熟练掌握．
1．作出函数y＝1－cos x的图像．
解：法一：(1)列表：
x0
π 2
π
32π 2π
y0 1 2 1 0 (2)描点：
(3)连线(如图)：
法二：先作出y＝cos x的图像，然后利用对称作出y＝ －cos x的图像，最后向上平移1个单位即可，如图．
问题1：如果以弧度制来度量角，x，y表示其函数值， 那么正弦函数解析式是什么？
提示：y＝sin x. 问题2：正弦线能代表正弦值吗？ 提示：能．
问题3：如果把正弦线沿x轴方向平移到某些特殊位置， 线段的终点能否是函数图像上的点？
提示：能． 问题4：如果有了正弦函数在[0，2π]上的图像，怎样才 能得到R上的图像？ 提示：因为sin(k·360°＋x)＝sin x(k∈Z)，所以只需将 这段图像向左右两方向平移即可得到．
1．观察正弦函数的图像可以看出，以下五个点在确定正弦
π 函数图像形状时起着关键作用，(0，0)，( 2 ，1)，(π，0)，
(
3π 2
，－1)，(2π，0)，这五点描出后，正弦函数y＝sin
x，
x∈[0，2π]的图像的形状就基本上确定了．
同样，(0，1)，(π2 ，0)，(π，－1)，(3π 2 ，0)，(2π，1)这