原问题、对偶问题、一对对偶问题

松约束与紧约束
• 把某一可行点处的严格不等式约束（包 括对变量的非负约束）称为松约束
– 不起作用约束
• 把严格等式约束称为紧约束
– 起作用约束
结论
• 即对于最优解X*和Y* 而言，松约束的对 偶约束是紧约束． • 注意：是先松后紧！
推论5
• 设一对对偶问题都有可行解，若原问题 的某一约束是某个最优解的松约束，则 它的对偶约束一定是其对偶问题最优解 的紧约束．
互补松弛性
• 定理5（互补松弛定理） • 设X*和Y*分别是P和D的可行解，则它们 分别是最优解的充要条件是
Y (b AX ) 0 * * (Y A C ) X 0
* *
X * Y *为最优解
Y * (b AX * ) 0 * (Y A C ) X * 0
1.2 对偶问题的形式
1. 对称型对偶问题 2. 非对称型对偶问题 3. 混合型对偶问题
1. 对称型对偶问题
• 定义1
矩阵形式
• 原问题 • 对偶问题
增加内容
对偶规则
1. 给每个原始约束条件定义一个非负对偶变量 yi(i=1,2,…,m); 2. 使原问题的目标函数系数cj变为其对偶问题约 束条件的右端常数； 3. 使原问题约束条件的右端常数bi变为其对偶 问题目标函数的系数； 4. 将原问题约束条件的系数矩阵转置，得到其 对偶问题约束条件的系数矩阵； 5. 改变约束条件不等号的方向，即将“=<”改为 “>=”； 6. 原问题“max”型，对偶问题为“min”型．
§1 对偶问题的一般概念
1. 对偶问题的提出 2. 对偶问题的形式
1.1 对偶问题的提出
• 资源的合理利用问题，即充分利用资源生产两 种产品 • 大规模定制生产时代，充分利用资源生成所需 的产品 • 对外提供加工服务，收取加工费 • 存在一个矛盾
– 自己要赚钱，定价越高越好 – 定价太高，别人不找你
-1/4 24 1/3 -1/3
0
M-8
0 0 1
48
y1
4/9 -1/9
-1/3 1/3
120 y2
y=(2/9,13/9), Z=184
观察结论:
① 一对对偶问题都有最优解，且目标函数 值相等。
②
最优表中有两个问题的最优解。
对称性
• 定理1（对称性定理） • 对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性
令Y * C B B 1 Y *b CB B 1b＝Z * CX *
YA C Y 0
Y * DD
根据最优性判别定理，Y*也是最优解
推论4
• 原问题有最优解，那末对偶问题也有最 优解，且目标函数值相等。
一对对偶问题的关系
• 两个问题都有可行解，从而都有最优解 • 一个问题为无界解，另一个问题必无可 行解 • 两个问题都无可行解
X=(8,24)T
minW=48y1+120y2 3y1+3y2 5 y1 +4y2 6 minW=48y1+120y2 +My5 +My6 3y1+3y2 -y3+y5 =5 y1 +4y2 -y4+y6= 6
48
y1 yB M M y5 y6 yB M 120 y5 y2 yB
120
y2 120-7M
1
2 3 4
表示线性 规划问题已得 到最优解.
Y 0 由(2)和(3),有
C C B B 1 A 0 , 故有 YA C
因为Z CB B 1b Yb, 而Y的上限无限大,所以只存在最 小值.
由上讨论,可得另一个线性规划问题:
min W Yb YA C Y 0
§2 对偶问题的基本性质
• • • • • • • 对称性 弱对偶性 无界性 最优性 强对偶性 互补松弛性 解的对应性
产品A，B产量X1，X2，Z为利润 例1、
maxZ= 5X1 +6X2
机器台时 劳动工时
3X1 +X2 48 3X1 +4X2 120 X1 , X2 0
3X1 +X2 +X3=48 3X1 +4X2 +X4=120 X1 … X40
第三章 线性规划的对偶理论
• 线性规划问题具有对偶性，即任何一个求极大 值的线性规划问题，都有一个求极小值的线性 规划问题与之对应，反之亦然． • 原问题、对偶问题、一对对偶问题 • 对偶理论（Duality Theory）
– [ dju(:)’æliti ] – 研究对偶问题之间的关系及其解的性质
推论3
• 在一对对偶问题P和D中，若一个可行， 而另一个不可行，则该可行的问题无界。
例1
Z C X 10 W Y b 40 C X Yb Wmin 10 Z max 40
例2
例3
最优性
• 定理3（最优性判别定理）
设X 是P的可行解，Y 是D的可行解， 当CX Y b时， X , Y 是最优解
Y * (b AX * ) 0 * (Y A C ) X * 0
互补松弛条件
Y (b AX ) 0 * * (Y A C ) X 0
* *
互补松弛条件
互补松弛关系（松紧关系）
• 若原问题最优解第i个约束方程为严格的不等式， 则对偶问题最优解中第i个对偶变量取值必为0
• 根据对偶理论，在解原问题的同时，也可以得 到对偶问题的解，并且还可以提供影子价格等 有价值的信息，在经济管理中有着广泛的应 用．
为什么研究对偶理论？
–对偶问题可能比原问题容易求解 –对偶问题还有很多理论和实际应用的意义
§1 §2 §3 §4 §5 §6
对偶问题的一般概念 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 对偶问题的经济解释——影子价格 对偶单纯形法 原始——对偶单纯形法
松紧关系的实际意义
• 在计算上，若已知一个问题的最优解， 则可利用互补松弛条件求另一个问题的 最优解．
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
例5
例3
用矩阵理论讨论对偶问题
设原问题：
max Z CX AX b X 0 X X X
B N
可用另一形式：
1
XB
max Z CX AX IX S b X , X 0 S
S
XN
XS
B N C C N B
I b 0 0
5
称为原线性规划问题 max Z CX AX b , X 0 的对偶规划问题。
原问题 Prime Problem
对偶问题 Dual Problem
原问题与对偶问题的对应关系
原问题求极小------ min Z MAX Z 原问题约束方程有“≥”------两边同乘（-1），“≤” 原问题约束方程有“=”------对偶问题？
例3
2. 非对称型对偶问题
例4
对偶规则
原问题第k个约束为等式，对偶问题第k个 变量是自由变量。
原问题第k个变量是自由变量，则对偶问题 第k个约束为等式约束。
3. 混合型对偶问题
对偶约束
• 另外，我们把约束条件分为行约束（变 量的线性组合的等式或不等式约束）和 变量的符号约束两部分，而以原问题的 行约束与对偶问题的变量一一对应，原 问题的变量与对偶问题的行约束一一对 应，并且将对应的一对约束称为一对对 偶约束．
解决
• 设出售材料的定价为每单位y1元 • 出租工时的定价为每工时y2元
min W 32 y1 23 y 2 2 y1 4 y 2 10 3 y1 5 y 2 20
max Z 10 x1 20 x2 2 x1 3 x2 32 4 x1 5 x2 23 min W 32 y1 23 y 2 2 y1 4 y 2 10 3 y1 5 y 2 20
I B 1 N B 1 B 1 b 0 C C B 1 N C B 1 C B 1b N B B B
B CB CB B 1B 0 N C N CB B N 0 S 0 CB B 1 0
令 Y C B B 1 , 则由(4)有
• 折中——保证不亏的前提下，对方的支出最少
例1
甲 乙 限额
材料
工时 利润（元/ 件）
2
4 10
3
5 20
32
23
max Z 10 x1 20 x2 2 x1 3 x2 32 4 x1 5 x2 23
问题
• 假设不是安排生产，而是出售材料，出 租工时，问如何定价，可使工厂获利不 低于安排生产所获得的利益，且又能使 这些定价具有竞争力
0
y3 M
0
y4 M
M y5
M y6
11M 5 6
48-4M 3 1
0 1 0 0
0 1
3 4 0
0 1
-1 0
M -1
0 -1 30-3/4M
3/4
180+1/2M 18-9/4M
1/2 9/4
0 -30+7/4M
1 -3/4 1/4 M-24
3/2 184 2/9 13/9
1/4 0 1 0
0 8 -4/9 1/9
0 0 0 6 5 6
XB X3 X4
X3 X2 X1 X2
0 48 120 180 18 30 184 8 24
百度文库
5 6 X1 X2 5 6 3 1 3 (4) 1/2 0 (9/4) 0 3/4 1 0 0 1 0 0 1 Z =184
0 0 X3 X4 0 0 1 0 0 1 0 -3/2 1 -1/4 0 1/4 -2/9 -13/9 4/9 -1/9 -1/3 1/3
证明



• • • • •
定理1——对称性定理 定理2——弱对偶性定理 定理3——最优性判别定理 定理4——主对偶定理 定理5——互补松弛定理
强对偶性
• 定理4（主对偶理论） • 若一对对偶问题都有可行解，则它们都 有最优解，且目标函数的最优值必相等。
证明
设 X DP
Y DD
Y * AX * YS X * CX *
Y * X S YS X * 0
X * Y *为最优解, 根据主对偶定理 CX * Y *b
Y * X S YS X * 0
Y * X S 0 YS X * 0
X S b AX *
YS Y * A C
根据弱对偶性定理，有 C X Yb
P为max CX , 又有上界 D为min Yb, 又有下界
(1) X * B 1b (2) 最优值Z* CX * C B B 1b (3) 0
所以，P有最优解 所以，D有最优解
设X *为P的最优解，B为最优基
引入X S , 得
max Z CX OX S AX IX S b X, XS 0 X* X * X S
*
C CB CB XB XB Z b B 1b C B B 1b
CB XB I O
CN XN B 1 N C N C B B 1 N
O XS B 1 C B B 1
0
C N C B B 1 N 0 C B B 1 0
C C B B 1 A 0 C B B 1 0
关键在于凑出b AX *和Y * A C
X * DP AX * b, X * 0
AX * X S b且X S 0, X S b AX *
Y * DD Y * A C , Y * 0
Y * A YS C且YS 0, YS Y * A C Y * AX * Y * X S Y *b
• 定理2（弱对偶性）
若X是P的可行解，是D的可行解， Y 则存在 C X Yb
证明
推论1
• 最大化问题的任一个可行解的目标函数 值都是其对偶最小化问题目标函数的下 界； • 最小化问题的任一个可行解的目标函数 值都是其对偶最大化问题目标函数的上 界。
无界性
• 推论2 • 若原问题（对偶问题）为无界解，则其 对偶问题（原问题）无可行解。 • 逆命题不成立。 • 在一对对偶问题P和D中，当其中一个问 题无可行解时，则另一个问题或者目标 函数无界，或者无可行解。