45一阶常系数线性微分方程组解法举例

C2 )et
,
解得 x e2t [ (C1 C2 )ete2tdt C3 ]
e 2t [1 3
(C1
C2 )e3t
C3],
即
x
C3e 2t
1 3
(C1
C2 )et
，
y
C3e 2t
1 3 (C2
2C1)e t
，
z
C3e2t
1 3 (C1
2C2 )e t
。
作业
习 题 七 （P249）
若 aij ( x) (i, j1, 2, n)为常数 ，则称方程组（1）为
一阶常系数线性微分方程组。
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
例
1．求微分方程组
dy
dx dz
sinx2 cos x 4
yz y2z
的通解。
dx
解：对第一个方程求导，得
d2பைடு நூலகம் dx2
cos x 2 dy dx
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式
dy1
dx dy2
dx
f1( x, y1, y2 ,, yn ) f2( x, y1, y2 ,, yn )
dyn dx
fn(
x,
y1 ,
y2
,,
yn
)
一阶线性微分方程组
dy1
dx dy2
dx
a11( a21(
(4c2 c3 )e2x c1e x .
例
3．求微分方程组
dx y z dt dy z x dt dz x y dt
的通解。
解：由第一个方程和第二个方程得： d( x y) ( x y) ， dt
x y C1et ，
同理得 x z C2et ，
由上面两式得
dx dt
2x
(C1
x) x)
y1 y1
a12 ( a22(
x) x)
y2 y2
a1n( x) yn a2n( x) yn
g1( x) g2 ( x)
(1)
dyn dx
an1
(
x)
y1
an2
(
x)
y2
ann
(
x
)
yn
gn
(
x)
若 gi ( x)0 (i1, 2, , n) ，则称方程组（1）为齐次的，
否则称为非齐次的。
dz dx
，
由第一个方程得 zsinx2 y dy ， dx
代入第二个方程，得 dz cosx4 y2(sinx2 y dy )
dx
dx
cosx2sinx2dy , dx
即 cosx2dy dz 2sinx ， dx dx
∴
d2y dx2
2sinx
，
dy dx
2cosx
C1
，
y2sinxC1xC2 ，
1（2）（8）；2 （3）。
总 习 题 （P259）
1（奇序号）；（18）；2 ；3（2）；8 。
2
dy1 dx
4
y1
3
y2
3
y3
2dy1 dx
4
y1
3(
dy1 dx
2
y1
)
dy1 dx
2
y1
，
即
d 2 y1 dx2
dy1 dx
2
y1
0
，
特征方程为r 2 r 20 ，r11 ，r2 2 ，
∴ y1c1e x c2e2x ，
y2 c3e2x ，
y3
dy1 dx
2
y1
y2
c1e x 2c2e2x 2(c1e x c2e2x )c3e2x
zsinx2(2sinxC1xC2 )(2cos xC1)
3sinx 2cos x 2C1 x (2C2 C1 ) 。
例
2．求微分方程组
dy1 dx
2
y1
y2
y3
dy2 dx
2
y2
dy3 dx
4
y1
y2
3
y3
的通解。
解：
d 2 y1 dx2
2dy1 dx
dy2 dx
dy3 dx