第六节 多元函数极值及其应用

第六节 多元函数极值及其应用

教学目的：理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点：多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：拉格郎日乘数法；多元函数的最大值和最小值。 教学时数：2 教学内容：

一、二元函数极值 1.极值的定义

定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，如果对该邻域内的任何异于

00(,)x y 的点(,)x y ，都有不等式0000(,)(,)((,)(,))f x y f x y f x y f x y <>，则称函数在点

00(,)x y 有极大值00(,)f x y （极小值00(,)f x y ）．极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点．

2.极值存在的必要条件

定理 设(,)z f x y =在点00(,)x y 取得极值，且(,)f x y 在点00(,)x y 存在偏导数，则必有：00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=．

3.极值存在的充分条件

定理 设(,)z f x y =在点00(,)x y 具有连续二阶偏导数，并设00(,)x y 是(,)f x y 的驻

点，记000000(,),(,),(,)xx

xy

yy A f x y B f x y C f x y ''''''===，则 （1）当2

0,0B AC A -<>时，00(,)f x y 为极小值； （2）当20,

0B AC A -<<时，00(,)f x y 为极大值；

（3）当2

0B AC ->时，00(,)f x y 不是极值；

（4）当2

0B AC -=时，不能确定00(,)f x y 是否为极值． 例1：求二元函数()

22

(,)2ln f x y x y y y =++的极值

解：先求函数的驻点．

令 22(,)2(2)0(,)

2l n 10x

y f x y x y f x y x y y ⎧'=+=⎪⎨'=++=⎪⎩

解得 0

1

x y e =⎧⎪

⎨=⎪⎩

，所以函数的驻点为1(0,)e ． 又22(2)xx

f y ''=+，2

1

2yy f x y ''=+，4xy

f xy '' =，从而12(0,)12(2)xx e

A f e ''==+，1

(0,)yy

e

B f e ''==，1(0,)0xy

e

C f ''==．

所以2

0B AC -<，0A >，故(,)f x y 在点1(0,)e

处取得极小值11(0,)f e

e

=-

． 例2： 求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值． 解：先解方程组

2

2

(,)3690

(,)360x y

f x y x x f x y y y '⎧=+-=⎪⎨'=-+=⎪⎩ 求得驻点为(1,0)，(1,2)，(3,0)-，(3,2)-．

再求出二阶偏导数．

(,)66xx f x y x ''=+， (,)0

xy f x y =， (,)66yy f x y y ''=-+ 在点(1,0)处，2

1260B AC -=-

⨯<，且120A =>，所以在点(1,0)有极小值(1,0)5f =-；

在点(1,2)处，2

12(6)0B AC -=-⨯->，所以(1,2)f 不是极值； 在点(3,0)-处，2(12)60B AC -=--⨯>，所以(3,0)f -不是极值；

在点(3,2)-处，2(12)(6)0B AC -=--⨯-<，且120A =-<，所以在点(3,2)-有极大值(3,2)31f -=．

二、二元函数的最大值与最小值

在实际问题中，我们经常遇到求多元函数的最大值最小值问题。与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。我们已经知道，如果函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则函数),(y x f 在D 上必定能取得它的最大值和最小值．这种使函数

取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部、也可能在D 的边界上．我们假定，函数在D 内可微且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值)，那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值)。因此，求函数的最大值和最小值的一般步骤是：

（1） 解方程组

(,)0

(,)0x y

f x y f x y '=⎧⎨'

=⎩ 求出区域D 上的全部驻点，找出区域D 上连续不可导的点；

（2） 求出这些驻点和连续不可导的点的函数值，并且求出函数在区域D 的边界上的最大值和最小值；

（3） 把这些数值进行比较，其中最大（小）的就是函数在区域D 上的最大（小）值。

注意：在这种方法中，由于要求出),(y x f 在区域D 的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂．在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数),(y x f 的最大值（最小值）一定在区域D 的内部取得且函数在区域D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(y x f 在区域D 上的最大值(最小值)。

例3：求函数2

21),(y x xy y x f --=在区域

}0,0,1|),{(22>>≤+=y x y x y x D

内的最大值。 解： 解方程组

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=-----='=-----='011),(011),(222

222

222

2y x xy y x x y x f y x y x y x y y x f y x 得区域D 上的唯一驻点)3

1,

3

1(

。

容易看出，这个函数在区域D 内是可微的，且在边界上的函数值0),(=y x f （函数(),f x y 在边界221x y +=上连续但不可导）

，函数在区域D 内只有一个驻点)3

1,

3

1(。

所以驻点)3

1,

3

1(

是最大值点，最大值就是9

3

)3

1,

3

1(

=

f 。 例4： 用铁板做一个容积为43

m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高为多少时，才能使用料最省？