复变函数第三版习题

第二章 解析函数 习题课 1. 试问函数

2

11z

+在圆盘1||

2. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微。

3. 设函数)(z f 在区域D 内解析。证明：如果对每一点D z ∈，有0)('=z f ，那么)(z f 在

D 内为常数。

4. 设函数)(z f 在区域D 内解析。证明：如果)(z f 满足下列条件之一，那么它在D 内为常

数：

（1） )(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数； （2）|)(|z f 在D 内为常数。

5. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：

z z e z z

cos ,sin ,,2

而下列函数不解析：

z z e z z

cos ,sin ,,2。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：

r

v r u v r r u

∂∂-=∂∂∂∂=∂∂θθ,1。

8. 已知任何区域D 内的解析函数)(z f 一定有任意阶导数。证明：

（1） )(z f 的实部和虚部在D 内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：

2

2

2

2=∂∂+

∂∂y

U x

U （2） 在D 内，

2

2

2

22

2|

)('|4|)(|)(z f z f y

x

=∂∂

+

∂∂

9. 试求出的i

e

+2、)1(Ln i +、i

i 、2

1

、2

)

2(-值。

10. 由w z sin =及w z cos =所定义w 的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. 由

2

sinh z

z

e e z --=

及2

cosh z

z e e z -+=

所定义w 的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：

,cos cosh ,sin sinh iz z iz i z =-= 由此从关于三角函数的有关公式导出：

1sinh

cosh

2

2

=-z z ，

212121sinh cosh cosh sinh )sinh(z z z z z z +=+，

212121sinh sinh cosh cosh )cosh(z z z z z z +=+，

y x i y x iy x sinh cos cosh sin )sin(+=+， y x i y x iy x sinh sin cosh cos )cos(-=+，

z

z

z z z

z sinh d cos d

,cosh d sinh d ==。

12. 设两个实变数的函数),(y x u 有偏导数。这一个函数可以写成iy x z

+=及z

的函数：

)2,2(

i

z z z z u u -+=。

证明：

),(21),(21y

u

i x u z u y u i x u z u

∂∂+∂∂=∂∂∂∂-∂∂=∂∂

设复变函数)(z f 的实部及虚部分别是),(y x u 及),(y x v ，并且它们都有偏导数，求证，对于)(z f ，柯西-黎曼条件可以写成

=∂∂+∂∂=∂∂z

v i

z

u z

f 。

13. 设函数

)1(z

f 在0=z 解析，那么我们说)(z f

在∞=z 解析。下列函数中，哪些在无穷远

点解析？

z

z z z e z

+

-+1),

11

(

Ln ,， n

n m m z

b z b b z a z a a ++++++......1010。

14. 在复平面上取上半虚轴作割线。试在所得的区域内分别取定函数

z 和z Ln 在正实轴

取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值。

15. 在复平面上取正实轴作割线。试在所得的区域内：

（1） 取定函数)01(<<-ααz 在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在1-=z 处的值；在正实轴下沿的值。

（2） 取定函数z Ln 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，并求这个分支在1-=z 处的值；

在正实轴下沿的值。

16. 求)10()1)(1(222<<--k z k z 函数的支点，证明它在线段

k

x x k

11,11≤

≤-≤≤-，

的外部，能求在0=z 取正值的那个分支。

17. 研究函数

3

)2)(1)(1(z

z z z w --+=

如果规定3=z 时，0>w 。任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在i z =的值。

18. 找出下列推理的错误：因为22)(z z =-，所以z z Ln 2)(Ln 2=-，因此z z Ln )(Ln =-。