数列概念及函数特征

数列概念及函数特征

1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2. 通项公式：如果数列{}n a 的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，

即.

3. 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系

可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，，其中是数列{}n a 的递推公式.

4.数列的前

项和与通项的公式

①； ②.

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何,均有.

②递减数列:对于任何,均有. ③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….

⑤有界数列:存在正数使.

⑥无界数列:对于任何正数,总有项n a 使得.

n )(n f a n =n a 1-n a )(1-=n n a f a ),(21--=n n n a a f a 12,11+==n n a a a 12+=n n a a n n n a a a S +++= 21⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n

n +∈N n n n a a >+1+∈N n n n a a <+1.,1,1,1,1,1 ---M +∈≤N n M a n ,M M a n >

例1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(

)

A ．an ＝1

B ．a n ＝

(－1)n ＋1

2

C ．an ＝2－⎪

⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝(－1)n －

1＋32

1．写出下面数列的一个通项公式．

(1)3,5,7,9，…；

(2)12，34，78，1516，31

32，…； (3)3,33,333,3 333，…； (4)－1，32，－13，34，－15，3

6

，….

解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.

(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24

，…，所以a n ＝2n

－1

2

n .

(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104

－1，….

所以a n ＝13

(10n

－1)．

(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n

；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1， 所以a n ＝(－1)n

·

2＋－

n

n

，也可写为

a n

＝⎩⎪⎨⎪⎧

－1

n ，n 为正奇数，3

n ，n 为正偶数.

2. 数列 ,17

16

4,1093,542

,21

1的一个通项公式是 。 1.2

2

.1n n a n n =++提示：观察和对应项数的关系，不难发现 11

1122=+，22442222,5521=+=++22993333,101031=+=++…， 一般地，2

2

.1

n n a n n =++ 3. 数列

,5

4

,43,32,21--的一个通项公式是 。

2. 1

)1(1

+⋅

-=+n n a n n 。提示： 这类题应解决两个问题，一是符号,可考虑（-1）n 或（-1）n+1

调节，二是分式，分子是n ，分母n+1。故1

)1(1

+⋅-=+n n a n n .

4.

,

则是这个数列的第 项。

2.7.

,

，

。

5.已知数列{}n a ，11a =，112n

n n

a a a +=+(*n N ∈)，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通

项公式.

3.解：∵11a =，112n n n a a a +=

+，∴a 2=11

1213

=+⨯.同理求得a 3=15，a 4=17.从而猜想a n =

121n -.

例2.已知数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sn ＝2n －1，则a8

＝______.

解析：a8＝S8－S7＝(28－1)－(27－1)＝28－27＝27＝128.

1.已知数列{an}的前n 项和Sn ，根据下列条件分别求它们的通项an.

（1） Sn ＝2n2＋3n ；(2)Sn ＝3n ＋1

2.数列{}n a 的前n 项和为231n S n n =++，求其通项公式。

3已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足120(n 2),n n n a S S -+=≥ 11

2

a =

，求n a 。