高数_极限求解方法及技巧总结

第一章 极限论

极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。

⎧⎧⎪⎨⎪⎩⎨

⎧⎪

⎨⎪

⎩⎩

极限的定义数列极限极限的性质

函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法

1.利用单调有界原理

单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。

利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。

说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。

例1 设0110,0,()0,1,2n n n

a

a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。

分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。

解：由基本不等式，11()2n n n

a

x x x +=+≥，所以可知数列n x 有下界；下面证单

调性，可知当2n ≥时，有2111

()()22n n n n n n n

x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综

合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞

存在；令lim n n x A →∞

=

，带入等式解得

A =

评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性的过程中并没有用传统的作差或作商的方法，

而是用了1n x +≥这一代换（原因

鉴，掌握这一套路。

例2设2

1

ln ln ln n

n k x n k k ==-∑

，证明{}n x 的极限存在。 分析：本题给出的是数列的通项，看似很难下手，其实应该注意到1

ln x x

的原函数就是ln ln x ，而且21

ln n

k k k

=∑正好可以与定积分的和式挂钩，这就是本题的突破

口。 证：21ln n

k k k

=∑

可视为高（长）度为1

(2,...,)ln k n k k =，宽度为1的矩形的面积和。

由于1

()ln f x x x

=

在[2,)+∞上单调递减且恒大于0，则由定积分的几何意义可知，1

22

11ln ln ln ln 2ln ln n n k dx n k k x x -=≥=-∑⎰，所以有 12221111

ln ln ln ln ln ln ln ln 2

ln ln ln ln n

n n n k k x n n dx n k k k k

n n x x -===-=+-≥-=-∑∑⎰(0.1)

所以n x 有下界，下证单调性

1111

ln ln ln ln(1)ln ln ln ln(1)0

ln ln ln n n n n x x n n dx n n n n x

---=

-+-≤-+-=⎰

(0.2)

由式（1.1）和（1.2）可知，数列n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞

存在。得证。

评注：本题以1

ln x x 的原函数就是lnln x ，而且2

1ln n

k k k =∑可视为定积分的和式这一

突破口，结合函数的单调性运用定积分的几何意义构造不等式进行有界性，单调性的证明。对于单调性的证明，也可

11111111

ln ln ln ln(1)0ln ln ln ln ln n n n n n n x x n n dx dx n n n n x x n n n n

----=

-+-=-≤-=⎰⎰

其本质上是一样的。

前面，我们讨论的数列都是单调的，但有时候数列本身不单调，而其奇、偶子列单调且其有相同的极限值，则原数列也有极限。下面以例子说明。

例3 设*111

3,,.1n n

a a n N a +==

∈+证明{}n a 收敛，并求之。 分析：首先可知1234145

3,,,459a a a a ====，可知n a 并不单调，但可以考虑奇子

列和偶子列。

证明：用数归法证明单调性。 （1） 由13a a >，知1k =成立。

（2） 假设当21n k =+时，有2121k k a a +-<成立 （3） 则有当2+3n k =时，

21212321212121

21

1111

1

1221111k k k k k k k k a a a a a a a a +-+++-+-++=

=

<==+++

+

++

所以，当23n k =+时也成立。其奇子列单调递减。

由于0n a >，而11

11n n

a a +=

<+，且13a =，所以有04n a <<。则其奇子列单调递减且有下界。同理可证，偶子列单调递增且有上界，由单调有界原理可知，奇、

偶子列的极限均存在，不妨设为A 和B 。则有1111A B

B A

⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩+

，解得12A B ==

评析：在应用数学归纳法证明单调性的过程中用到了1()2t

f t t

+=

+是增函数这一性质，当然，数学归纳法证明单调性也并不是唯一的方法，下面用作差法证明：

22

2221122(2)(2)

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+--++--=

-=++++ 所以可知2n n a a +-与2n n a a --的符号相同，由于310a a -<,则21210k k a a +--<；同理420a a ->，则2220k k a a +->。即奇子列单调递减，偶子列单调递增。

这样的讨论显然比较繁琐，有没有更简单的方法呢？当然有，下面再讨论。

2.压缩映象原理

其实应用压缩映象原理求极限的基础实质上就是极限的定义。下面介绍该原理： 定理：设01r <<和A 是两个常数，{}n x 是一个给定的数列，只要{}n x 满足下列

两个条件之一：○111n n n n x x r x x +--≤-,○21n n x A r x A +-≤-.那么n x 必收敛，

并在第二种条件下，有lim n n x A →∞

=

证明：○1由11n n n n x x r x x +--≤-，则有

21111221n n n n n n n x x r x x r x x r x x -+----≤-≤-≤≤-…，由级数的比较审敛法，可知211

n n r x x ∞

=-∑收敛，则有11

n n n x x ∞

+=-∑收敛，所以11

()n n n x x ∞

+=-∑也收敛，则其部分