凹凸性、渐近线、作图

2 x3
由于
y
1 x
在
x
0
处没有定义,所以该曲线
没有拐点．
y=1/x 10
5
y
0
-5
-10 -10
2020/7/13
-5
0
5
x
ezplot('x*y=1',[-10 10])
10
16
作业
P108 习题4 20(2)(3) 21
预习：P112—115
2020/7/13
17
二、曲线的渐近线
如果曲线上一动点沿曲线趋于无穷远时, 动点与某一直线的距离趋于零, 则称该直线 为曲线的一条渐近线.
lim
a 0,
x x
lim f x ax b
x
lim f x ax b
x
则 y ax b是曲线 y f x 的一条斜渐近线．
例子见书98页例6
y
y f (x)
P
•
y kx b
o
2020/7/13
M
x
18
曲线渐近线的分类 (1)铅直渐近线
y xa
若 lim f (x) () xa
(或 lim f (x) ())
xa
oa
x
则直线 x a
y f (x)
为曲线 y f (x)的
铅直渐近线.
2020/7/13
19
y
y tan x y y cot x
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0 285拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则 (1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
y'
1
2
x 3,
y
''
2
x
5 3
2
3
9
9x3 x2
当 x 0 时， y '' 不存在． 当 x 0 时， y '' 0; 当 x 0 时， y '' 0, 在 x 0 的两侧，y '' 的符号发生改变.点
2020/7/13
9
例1.判断曲线 y x4 的凹凸性.
解:
y 4x3, y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时, y 0,
y Ox
故曲线 y x4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2020/7/13
4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
2020/7/13
5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
2020/7/13
6
（二）凹凸性的判定 定理1：( 用二阶导数判定函数的凹凸性 )
设函数 f (x)在[a, b]上连续,在(a, b)内 二阶可导,那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2
o
2
x
o
2
x
2020/7/13
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为
lim
1
,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0和x 1是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
2020/7/13
或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y 5x3 3x2 7x 1 凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (, )
y ' 15x2 6x 7, y '' 30x 6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方
2020/7/13
3
（一） 凹凸性定义
设 f (x)在区间I上连续,如果对I上任意两点
x1, x2恒有:
f
x1
2
x2
f (x1) 2
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凹的;如果恒有:
f
x1
2
x2
f (x1) 2
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
2020/7/13
1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
为曲线y f (x)的拐点.
y
y f (x)
定理1：（拐点必要条件）
设 f ( x) 有 二 阶 导 数,
(•x0, f (x0 )
若 ( x0 , f ( x0 ))为 f ( x)的
x
拐 点,则 有f ( x0 ) 0.
o x0
2020/7/13
8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在 点 x0 的某邻 域内有二阶 导数, 若f 在 x0 两 侧 异 号,则( x0 , f ( x0 ))是 f 的 一 个 拐 点.
(0,0) 是该曲线的拐点．
y=x1/3
3
2
1
y
0
-1
-2
--310
-5
0
5
10
x
x=linspace(-10,10);
y=nthroot(x,3);
plot(x,y)
2020/7/13
14
例4.求曲线 y 1 的拐点．
x
解 函数
y 1 的定义域为 (,0)
x
(0, )
y'
1 x2
,
y ''
-5
0
5
x
ezplot('x*(x-1)*y=1',[-10 10])
10
22
(2)水 平 渐 近 线 若 lim f ( x) b,则 直 线 y b是 曲 线
x ( x)
y f ( x)的 水 平 渐 近 线.
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．
2020/7/13
23
对于函数 f (x) sin x
x
由于
lim sin x 0 x x
所以， y 0 是曲线的一条水平渐近线．
y=sinx/x 1
0.5
y
0
-0.5
-200 -100
0
100 200
x
2020/7/13
24
(3)斜渐近线
如果曲线 y f (x) 有
f x
lim
a 0,
x x
或
f x
(1) 若在(a, b)内 f (x) 0, 则 f (x)在[a, b]是凹函数;
(2) 若在(a, b)内 f (x) 0, 则 f (x)在[a, b]是凸函数.
2020/7/13
7
（三 ） 拐点
设点(x0, f (x0))是曲线y f (x)上的一个点，
在该点两侧曲线凹凸性相反,则称点(x0, f (x0 ))