第二讲 数列的极限 教案

第二讲 数列的极限

教学目标：（1）理解数列的概念；

（2）了解数列极限的的定义，通过学习逐步加深对极限思想的理解；

（3）理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质.

教学重点：极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限 教学难点：极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限 教学方法：讲授法 谈话法 课时安排： 教学过程：

§1.2 数列的极限

一、数列极限的概念

1.数列 按照一定顺序排列着的无穷多个数，12,,,,

n x x x ，记为{}n x ，n x

叫数列的一般项或通项.

如： 1，-1，

，()

1

1n +-，

，通项()

1

1n n x +=-； ()1

114

2,,,,

,

23

n n n

-+-，通项()

1

1n n n x n

-+-=

.

几何上，数列n x 可视为数轴上一动点，它依次取数轴上点12,,

,

n x x x .从这

个意义上讲，数列{}n x 又可视为定义在自然数集上的一个函数()n x f n =，当自变量依次取1，2，3，

时，对应的函数值就排成数列{}n x .

2.数列极限的定义

直观定义：极限是数列稳定的变化趋势.

观察数列()1

1142,,,

,

,

23

n n n

-+-，可见当n 无限增大时，n x 无限接近1；即

当n 无限增大时，n x 与1的距离1

1n x n

-=

无限接近0；也即是说，当n 无限增大时，n x 与1的距离可以任意小；即是说，无论事先给定一个怎样小的正数，总可以在n 无限增大的过程中找到一个确定的N ，在N 项之后，距离11n x n

-=

很小并保持比事先给定的那个正数更小.具体说来，当给定的正数为110-时，N 可取为大于10的整数；当给定的正数为210-时，N 可取为大于100的整数；当给定的正数为410-时，N 可取为大于10000的整数；当给定0ε>时，N 取大于

11ε⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦

的整数. 精确定义（N ε-定义）：对数列{}n x ，0ε∀>，0N ∃>，当n N >时有

n x A ε-<，则称A 为{}n x 的极限，记为lim n n x A →∞

=.此时亦说n x 收敛于A ，否则

称{}n x 发散.

注1：ε的理解，ε是事先给定的正数，它具有两重性.

（1）任意性：这样，才能保证n x 与A 无限接近，即n x A -任意小. （2）相对固定性：只有这样，才能由此找到N ，使n x A ε-<.

注2：N 是什么数，怎样找N ，它与什么有关，是否唯一？

（1）N 是数列n x 中项数n 的取值，故为某一正数，它由ε确定. （2） 找N 的方法：由n x A ε-<出发解不等式得()n ϕε>，取

()N ϕε≥（或()N ϕε=⎡⎤⎣⎦）.不过，有时为了使不等式n x A ε-<，需要采取适当放大()n x A g n -≤

≤（

()0

n g n →∞→）.要n x A ε-<，只要()g n ε<即可.由此解出，

()n ϕε>，取()N ϕε≥.

（3）由()N ϕε=⎡⎤⎣⎦知，N 与ε有关，ε越小，N 越大. （4）N 不唯一. 若N ∃，则1,2,

N N ++都可以.

数列{}n x 以A 为极限的几何解释：

n n x A A x A εεε-<⇔-<<+

定义 几何意义

0ε∀> 任取开区间(),A A εε-+

0N ∃> 存在一点N x

当n N > N x 以后的点都

有n x A ε-< 在(),A A εε-+内，而之外只有有限个点

例1 用定义证明 （1

）0n =； （2）212lim 525x n n →∞-=+；

（3）0.1，0.11，0.111，

，0.111，

的极限为19

.

证 （1

）00n x -=

-=

0ε∀>，要 0n x ε-<，

ε<，即21n ε>，即可取21N ε⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

.当n N

>

0ε-<.

故0n =. (2) 由()2212992552555252n n x n n n n

--

=-=<<+++， 0ε∀>,要25n x ε-

<，只要2n ε<即2n ε>即可.故可以取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，当n N >时有25n x ε-

<. 故212

lim 525

n n n →∞-=+.

（3）先写出数列通项1111

0.111110

n n

x ==

， 111111991011

910991091010

n n n n n n

x --=-==<⋅⋅. 0ε∀>，要19n x ε-<，只要110n ε<，即1lg n ε>即可.故取1lg N ε⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，则当n N >有19n x ε-

<.故1lim 9

n n x →∞=.

例2 问22sin

3lim ?3

n n n π

→∞=+，并且当310ε-=时，求出N .

解 分三步：（1）观察极限；（2）验证；（3）求N .

（1）观察知22sin

3lim 03

n n n π

→∞=+.