Z变换的定义与收敛域

n0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) esnT
n0
n0
证明：(略)
X s (s)
[
0
x(nT ) (t nT )]estdt
n0
改变积分与求和顺序
x(nT ) (t nT )estdt 0 n0
x(nT ) (0)esnTdt 0 n0
n
令： lim n an n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x(n), n1 n n2
2．右边序列的收敛域
x(n) a nun n1 n
3．左边序列的收敛域
x(n) a nu n 1 n n2
4．双边序列的收敛域
x(nT )esnT
(0)dt
x(nT )esnT
0
n0
n0
X s (s) x(nT )esnT n0
其中 s σ jω
引 入 复 变 量 z esT ，为 连 续 变 量， 将xnT 表 示 为xn
X s (s) |zesT x(n)z n X (z) n0
单边z变换 对 任 一 信 号x(n)的 （ 双 边 ）z变 换 式 为
利用根值判定法
若 lim n | x(n)zn | 1 成立，则X(z)收敛 n
| z | lim n | x(n) | n
Rx1
n1 < 0, Rx1< |z| < ∞ ❖ n1 ≥ 0, Rx1 < |z|
右边序列的收敛域是半径为 Rx1 的圆外部分
因果序列是右边序列的特例，n1＝0
如 x(n) anun 0 n
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0 0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1< ∞n。2
例
n1 < 0, n2 ≤ 0 0≤ |z| < ∞
❖ n1 < 0, n2 > 0
0 < |z| < ∞
n1 2, n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
0 < |z| ≤ ∞
使用z变换工具的好处
差分方程 Z变换代数方程 可以将时域卷积 z 域乘积
连续时间系统
拉普拉斯变换
离散时间系统
Z变换
本章主要讨论：
❖ Z变换的定义 ❖ 收敛域 ❖ 性质 ❖ 与傅氏变换和拉氏变换的关系 ❖ 利用z变换解差分方程 ❖ 利用z平面零极点的分布研究系统的特性
§6.1 z变换的定义与收敛域
z ,| z || a | za
x2 n anu n 1
1
0
X 2 (z) (an )zn [ (az1 )n 1] (a1z)n 1
n
n
源自文库
n0
1
z
X2(z)
( 1
a1z ) 1
z
a
,
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域，
故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
X (z) x(n)z n n
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z) x(n)zn ZT[ x(n)] n
双边z变换
X (z) x(n)zn n0
单边z变换
z e sT z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
第6章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。
n1 = 0
Rx1
lim n
n
|
x(n) |
lim n
n
|
an
|
|
a
|
X z z
za
ROC：| z | | a |
例2
x(n)
1 3
n
0
n0 n0
n1 = 0
ROC：
z
1
1
3 ，半径为 3 的圆外，包括无穷大。
z平面
j Im( z)
z 变换的定义 z 变换的收敛域 典型序列的z 变换
《信号与系统》 BUPT EE
§6.1 z变换的定义与收敛域
❖ z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出 直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x(t)
xs (t )
xk (n) 数字滤 gk (n)
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X (z)
x(n)zn
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
x(n)zn
n
充要条件
ROC:Region of convergence
例：求下列2个序列的z变换,并指出其收敛域
x1(n) anu(n)
X1(z) an z n n0
X (z)
n2
xn(1n=)z0n,
n2
3
= 0x(n)z 0n ≤
|z| ≤ ∞
n n1
n2
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z 0
z
常数
x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3
z 0
所以，收敛域为 0 z 的z平面。
（2）右边序列 x(n) 0, n n1
X (z) x(n)zn n n1
2、级数收敛判定方法
（1） 比值判定法
对一个正项级数 an ， n
lim 设
an1
n an
X (z) x(n)zn
n
x(n)zn
n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
（2） 根值判定法
对一个正项级数 an ， n
X (z) x(n)zn
n
x(n)zn
xn b n n b 0
3、 几类序列收敛域情况讨论
（1）有限长序列 x(n),
n2
X (z) x(n)zn n n1
n1 < 0, n2 ≤ 0 0≤ |z| < ∞
n1 n n2
n1
n2
❖ n1 < 0, n2 > 0 n1 ≥ 0, n2 > 0
0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
g(t)
A/ D
波器
D/ A
p(t )
xs t xnT t nT
xn
O T 2T
t
O 12
n
xs (t ) x(t ) T (t ) x(t) (t nT ) x(nT ) (t nT )
对xs (取t ) 拉氏变换
n0
n0
X s (s) Lxs (t) L x(nT ) (t nT )