构造直角三角形巧解题

培优《构造直角三角形巧解题》

福建 闽侯淘江中学 陈荣良

有些几何题,若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化,就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法,供给同学们复习时参考.

一、利用已知直角构造直角三角形

例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060, ∠B=∠D=0

90,AB=2,CD=1.则BC 和AD 的长分别为

_______和_______.

解析:考虑到图中含有0

90和0

60的角,若延长AD 、BC 相

交于E,则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED,易知∠E=030，

从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2. 二、利用勾股定理构造直角三角形

例2：如图2,在四边形ABCD 中，AB=AD=8,∠A=060,∠ADC=0150,已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.

解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形,要求其面积,可设法变成特殊的三角形求解.连接BD,则△ABD 是等边三角形, △BDC 是直角三角形,由于AB=AD=BD=8,,求△ABD 的面积不难解决,关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC,从而求出△BDC 的面积.

解答:连接BD.∵AB=AD,∠A=060,∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=0

60,BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0

150,

∴∠BDC=，090 故△BDC 是直角三角形,

图1

图2

因为四边形ABCD 的周长为32, AB=AD=8, ∴BC+DC=32-16=16,BC=16-DC.

在Rt △BDC 中,222BC DC BD =+, 即()2

22168DC DC -=+.解得DC=6.

∴248621=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为

3482

3

=⨯. 3163482

1

=⨯⨯=

∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为

a 2

3

,面积为243a . 【习题】、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形

ABCD 的面积。

解：连结AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4 ∴AC 2=AB 2+BC 2=25（勾股定理） ∴AC=5

∵AC 2+CD 2=169，AD 2=169 ∴AC 2+CD 2=AD 2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =

21AB·BC+2

1AC·CD=36

点评：本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。

三、利用高构造直角三角形

例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.

图3

A

B

C

D

解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x,PC=8-x,在Rt △PAC 中,由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.

解答：作底边BC 的高AD,则AD ⊥BC,垂足为D. 设BP=xcm,PA ⊥AC.

由等腰三角形的性质知BD=DC=

2

1

BC=4cm. 在Rt △ADB 中,222AB BD AD =+, 94522222=-=-=BD AB AD ,∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中, 222PC AC AP =+,∴()()2

22

28543x x -=+-+.

解得x=

47,即BP=4

7

(cm). P 点移动的时间为

4

7

÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P ', 则47=

'C P (cm).4

25478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为

2525.04

25

=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.

说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.

【习题】（2010年云南昆明）如上图，在△ABC 中，AB = AC ，AB = 8，BC = 12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）

解：如图，依题意知，该图形关于直线AD 成轴对称，所以DC BD BC AD =⊥, ∵BC = 12 ∴BD = 6 在ABD Rt ∆中，

72682222=-=-=BD AB AD

∴766722

1

21=⨯⨯=⋅=

∆BD AD S ABD ,从而有71216)768(2)42

1

22-=-⨯=-⨯⨯=∆πππABD S S （阴影,故选 D

四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形

例4:如图4,在△ABC 中,AB=5,AC=13,BC 边上的中线AD=6,求BC 的长. 解析:注意到5,12,13恰为一组勾股数,因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE,将AB,AC,2AD 集中到同一△ACE 中,构成直角三角形,运用勾股定理求BC 的长.

解答:延长AD 到E,使DE=AD,连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线, ∴BD=CD.

又AD=ED, ∠ADB=∠EDC, ∴△ADB ≌△EDC(SAS), ∴CE=BA=5. 又AC=13,AE=2AD=12, ∴22213169125==+,即222AC AE CE =+, ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.

在Rt △DEC 中,222CE DE CD +=, ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61

例10图