一类n阶变系数线性常微分方程的通解
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n- 2 2
E
(AkA0 + A0Ac k+ 1 - Ac 0Ak+ 1 ) h k+ 1 = 0
( 9)
k= 1
由 ( 4 )和 ( 9 )得 : (A + A0Ac 1 - Ac 0A1 ) h1 + 整理得 : h1 = =
2 0
E
k= 1
(AkA0 + A0Ac k+ 1 - Ac 0Ak+ 1 ) hk+ 1 = - A0 h c n + (Ac 0 - An- 1A0 ) hn + (A0 f c - A c 0f ) A0
+ ,
+ A1 yc + A0y = f, 即 y = y( x) 是方程 ( 1 ) 的解 , 充分性得证。
定理
在方程 ( 1 ) 中, 若 f、 A0、 A1、 , , 、 An- 1都在 ( a, b) 可导 , A0 X 0, 且 Ak Ak + 1 A1 c = 0, + c= 0 k= 1 , 2 , , , n- 2 1+ A0 A0 A0
n [ 1]
L[ y] =
k= 0
E Ay
k
(k)
= y
(n)
+ An- 1 y
( n- 1 )
+ An- 2 y
( n- 2)
+ , + A1 y c + A0 y = f
( 1)
其中 n \ 2 , f = f (x )和 Ak = Ak ( x) 都在 ( a, b) 内连续, k = 0 , 1 , , , n- 1 , y( 0 ) = y, An = 1 , A0 X 0 。 由文献 [ 1 ]知 , 方程 ( 1 ) 的通解是存在的。 y = y ( x ) 是 方程 ( 1 ) 的 解的充 分必 要条 件是 : v h1 = h1 ( x ), h2 = h2 ( x ), , , hn = h n ( x ), f - hn - An- 1 hn - 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1h 1 ( n) , 其中 x: ( a, b)。 使得 y c= h1, yd= h2, , , y = hn 且 y = A0 引理 证: ( 必要性 )因为 y = y( x)是方程 ( 1) 的解, 所以 y c 、y d 、 , 、 y 都存在, 令 hk = y , k = 1 , 2 , , , n, f - hn - An- 1 hn - 1 - An- 2 hn - 2 - , - A1 h1 将它们代入方程 ( 1 )并移项得 y = , 其中 x: ( a, b), 必要性得证。 A0 (充分性 )因为 v hk = hk ( x), k = 1 , 2 , , , n, 使得 y 且 y= y
t( x)
)dx = e
t( x )
X 0
( x) = z
, , , , , , e
t( x)
y c(x 0 ) = z c 0 所以方程组 y d(x 0 ) = z d 0 , , , , , y
(n)
有唯一解 , 即存在唯一一组常数 C1、 C2、 , Cn, 使得 y = z , 所以 z 含于 y
( k) (k)
¼ 证明 y 包含了方程的所有解 ( x0 ), k = 0 , 1 , , , n - 1与条件 y0 = y
( k) (k)
(x 0 ), k = 1 , 2 , , , n 本质上是一
样的, 所以本文为了简便而取后者为初始条件。 设 z = z(x )是方程满足初始条件 : z0 = z 1 yc( x) = zc 由于 yd( x) = zd , , , , , y
t( x)
x c - , A3 + A2 x + A1 3 2 !
2
A1 x cn- 1 An- 1 + An- 2 x + , + ( n - 2 )!
t( x )
n- 2
- [e
+Βιβλιοθήκη BaiduAn- 1 e
t(x )
Q
t(x )
dx + , + A1 ( ( , ( e
n- 1个 - t( x)
QQ Q dx) ,
n- 1个
t(x )
)dx) dx ] cn - [ e
t(x ) - t( x)
g ( x) e Q
- t(x )
dx ( 8)
+ An- 1 ( e
Q Q
g ( x) e
dx) dx + , + A1 ( ( , ( e
g ( x) e QQ Q Q
dx) dx , ) dx )dx - f] }
( 2)
则可用初等积分法求此方程的通解, 且此通解包含了方程的所有解。 证 : 令 t( x) =
Q
A c0 - An- 1A0 A0f c - A c 0 f dx, g ( x) = A0 A0
¹ 证明 h 1、 h2 , , hn 和 y 都存在 因为 f、 A0、 A1 , , An 都在 ( a, b) 可导 , A0 X 0 , 所以 - A0 h c n + (Ac 0- A n - 1 A0 ) hn + (A0 f c- A c 0 f ) = 0 是关于 hn 的一阶线性常微分方程 , 其通解为:
( ( , ( e dx) , ) dx )dx + cn- 1
x x + cn- 2 + , + c2 x + c1 ( n - 2)! ( n - 3 )! ( 7)
( Q (, Q (e Q g (x ) e Q
n- 1个
dx )dx , )dx) dx
y= =
f - h n - An- 1 h n- 1 - An- 2 hn- 2 - , - A1 h 1 A0 1 {- A1 c1 - [A2 + A1x ] c2 A0
2
A0 ( f - hn - An - 1 hn- 1 , A1 h1 ) c- A c 0 (f - h n - An - 1 hn - 1 , A1 h 1 ) f - hn - An- 1 hn - 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1 h 1 c= y c A0
从而满足引理条件, 所以 y 是方程的解。 » 证明 y 是方程的通解 由公式 ( 3 ) ~ ( 8 )求导得 : A1 9y A2 + A1x 9y 9y =- , =, , , = 9c1 A0 9c2 A0 9cn- 1
于是 h 1、 h 2 , , h n 和 y 都存在。 º 证明 y 是方程的解 由条件组 1+ Ak A1 Ak+ 1 2 c= 0 , + c= 0 , k= 1 , 2 , , , n - 2 得: A0 + A0A1c- Ac 0A1 = 0 A0 A0 A0
n- 2
且 AkA0 + A0Ac , k= 1 , 2 , , , n- 2 。 k+ 1 - A c 0A k+ 1 = 0 所以 (A0 + A0Ac 1 - Ac 0A1 ) h1 +
[ 1] ( n - 1)
2010 年
第 1期
, , , , , , , ,
9y 9cn 9y c 9cn , 9y 9cn
( n - 1)
= ( - 1)
m
e X 0 其中 m 是正整数, A0
t( x)
所以 y 中含有 n 个独立的任意实数 由于初始条件 y0 = y
(k) ( k)
, 从而 y 是方程的通解。
李世云 : 一类 n 阶变系数线性常微分方程的通解 hn ( x) = eQ
Ac 0- A n- 1A 0 dx A0
Q
Ac 0- A n- 1A 0 A0 f c - A c t( x) t( x) - t( x) 0 f dx g(x)e dx e Q A0 dx + cn = cn e + e A0
Q
( 3) ( 4) ( 5) dx) dx )dx
n- 3
即存在可导函数 hn = hn ( x), 使得 - A0 h c 。 n + (Ac 0 - A n - 1A0 ) hn + (A0 f c- A c 0 f) = 0 令 hn- 1 ( x) = hn- 2 (x ) = h (x )dx + c Q h ( x) dx + c Q
(n)
(x0 ) = z0
中 , 再由 z 的任意性, 可知 y 包含了方程的所有解。 综合 ¹ ~ ¼ 知, 定理得证。 例 题 求方程 y
( 4)
- 4( x + 1 ) y Ê+ 12 ( x + 1 ) yd- 24 ( x + 1 ) yc+ 24y = (x + 1) 的通解。
- t( x)
( 6)
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , h1 ( x) = +
Q
t( x)
h 2 ( x) dx + c1 = cn
- t( x )
QQ Q
n- 1 个
第 23 卷
第 1期
文山学院学报 JOURNAL OF W ENSHAN UN I VERSITY
Vol1 23 N o 11 M ar1 2010
2010 年 3 月
一类 n阶变系数线性常微分方程的通解
李世云
(文山学院, 云南 文山 663000)
n
摘要: 论述了 n 阶变系数线性常微分方程
E
Ak ( x) y
n n- 1 n- 1
= cn e dx + cn- 1 +
t(x )
n- 2
= cn
[e Q g ( x) e dx] dx Q Q ( Q e dx) dx + c x + c + Q ( Q (e Q g ( x) e Q
t( x) t( x ) - t(x ) t(x ) n- 1 n- 2 t( x) n- 2
(n)
( x0 ), k = 1 , 2 , , , n 的特解。 x, , x ( n - 2 )! x ( n - 3 )! , , 0
n- 3 n- 2
Q Q dx ,
(, e
n- 1
t( x)
)dx
的系数矩阵满足 :
( n)
0 , 0
1, , , , 0, ,
Q Q dx ,
(, e
n- 2
( n- 1)
= , =
9y 9y 9y = 0 , = 1 , 9cn- 2 9cn- 1 9cn
( n- 1 )
=
e dx Q
t( x )
107
第 23卷 9y 9c1 代入行列式计算得: 9y c 9c1 , 9y 9c1
( n - 1)
文山学院学报 9y 9c2 9 yc 9c2 , 9y 9c2
(k) (n) ( k)
= h k, k = 1 , 2 , , , n,
f - hn - An - 1 hn- 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1 h 1 ( k) , 所以将全体 hk = y 代入 y 并移项得 A0
( n)
+ An- 1 y
( n - 1)
+ An - 2y
( n- 2)
n- 1个
An- 1 + An - 2 x + , + A1 A0
t( x)
x ( n - 2 )!
n- 2
9y =9cn 9y 9c1
( n- 1 )
e
t( x)
+ An- 1 e
Q
t( x )
dx + , + A1 ( ( , A0
( n- 1)
QQ Q dx ,
e
( n- 1)
)dx) dx
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 9y 9c2
( k)
= f ( x) 当满足条件: 1+
k= 0
A1 Ak Ak + 1 c= 0 , + c A0 A0 A0
=0 , k= 1 , 2, , , n - 2 时, 可用初等积分法求其通解, 并推出了求解公式。 关键词 : 通解; 初等积分法; n 阶变系数线性常微分方程 中图分类号 : O1751 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1674- 9200( 2010) 01- 0106- 04 虽然 n 阶线性常微分方程的通解就等于它的齐次方程的通解加上它本身的一个特解 , 但具体求齐次方程的 通解及非齐次方程的特解却是非常困难的, 特别是变系数的更是如此, 很多情况下连是否可积都不能判断。文献 [ 1- 7]介绍了一些可积的高阶方程及其解法, 其中主要是二阶的, 三阶以上的只有为数不多的几类。本文介绍另 外一类可积的 n 阶方程, 并且指出此类方程可直接用初等积分法求其通解, 而不需要考虑齐次方程的情况。 为了叙述方便, 记 n 阶变系数线性常微分方程为 :
收稿日期 : 2010- 01- 05
基金项目 : 云南省教育厅 科研基金项目 / 非线性演化方程的显式精确解及相关问题研究 0 ( 06Y041A) 作者简介 : 李世云 ( 1954- ) , 男 , 云 南文山人 , 教授 , 文山民族研究所兼职研究员 , 主要从事教育统计与微分方程研究。
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E
(AkA0 + A0Ac k+ 1 - Ac 0Ak+ 1 ) h k+ 1 = 0
( 9)
k= 1
由 ( 4 )和 ( 9 )得 : (A + A0Ac 1 - Ac 0A1 ) h1 + 整理得 : h1 = =
2 0
E
k= 1
(AkA0 + A0Ac k+ 1 - Ac 0Ak+ 1 ) hk+ 1 = - A0 h c n + (Ac 0 - An- 1A0 ) hn + (A0 f c - A c 0f ) A0
+ ,
+ A1 yc + A0y = f, 即 y = y( x) 是方程 ( 1 ) 的解 , 充分性得证。
定理
在方程 ( 1 ) 中, 若 f、 A0、 A1、 , , 、 An- 1都在 ( a, b) 可导 , A0 X 0, 且 Ak Ak + 1 A1 c = 0, + c= 0 k= 1 , 2 , , , n- 2 1+ A0 A0 A0
n [ 1]
L[ y] =
k= 0
E Ay
k
(k)
= y
(n)
+ An- 1 y
( n- 1 )
+ An- 2 y
( n- 2)
+ , + A1 y c + A0 y = f
( 1)
其中 n \ 2 , f = f (x )和 Ak = Ak ( x) 都在 ( a, b) 内连续, k = 0 , 1 , , , n- 1 , y( 0 ) = y, An = 1 , A0 X 0 。 由文献 [ 1 ]知 , 方程 ( 1 ) 的通解是存在的。 y = y ( x ) 是 方程 ( 1 ) 的 解的充 分必 要条 件是 : v h1 = h1 ( x ), h2 = h2 ( x ), , , hn = h n ( x ), f - hn - An- 1 hn - 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1h 1 ( n) , 其中 x: ( a, b)。 使得 y c= h1, yd= h2, , , y = hn 且 y = A0 引理 证: ( 必要性 )因为 y = y( x)是方程 ( 1) 的解, 所以 y c 、y d 、 , 、 y 都存在, 令 hk = y , k = 1 , 2 , , , n, f - hn - An- 1 hn - 1 - An- 2 hn - 2 - , - A1 h1 将它们代入方程 ( 1 )并移项得 y = , 其中 x: ( a, b), 必要性得证。 A0 (充分性 )因为 v hk = hk ( x), k = 1 , 2 , , , n, 使得 y 且 y= y
t( x)
)dx = e
t( x )
X 0
( x) = z
, , , , , , e
t( x)
y c(x 0 ) = z c 0 所以方程组 y d(x 0 ) = z d 0 , , , , , y
(n)
有唯一解 , 即存在唯一一组常数 C1、 C2、 , Cn, 使得 y = z , 所以 z 含于 y
( k) (k)
¼ 证明 y 包含了方程的所有解 ( x0 ), k = 0 , 1 , , , n - 1与条件 y0 = y
( k) (k)
(x 0 ), k = 1 , 2 , , , n 本质上是一
样的, 所以本文为了简便而取后者为初始条件。 设 z = z(x )是方程满足初始条件 : z0 = z 1 yc( x) = zc 由于 yd( x) = zd , , , , , y
t( x)
x c - , A3 + A2 x + A1 3 2 !
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A1 x cn- 1 An- 1 + An- 2 x + , + ( n - 2 )!
t( x )
n- 2
- [e
+Βιβλιοθήκη BaiduAn- 1 e
t(x )
Q
t(x )
dx + , + A1 ( ( , ( e
n- 1个 - t( x)
QQ Q dx) ,
n- 1个
t(x )
)dx) dx ] cn - [ e
t(x ) - t( x)
g ( x) e Q
- t(x )
dx ( 8)
+ An- 1 ( e
Q Q
g ( x) e
dx) dx + , + A1 ( ( , ( e
g ( x) e QQ Q Q
dx) dx , ) dx )dx - f] }
( 2)
则可用初等积分法求此方程的通解, 且此通解包含了方程的所有解。 证 : 令 t( x) =
Q
A c0 - An- 1A0 A0f c - A c 0 f dx, g ( x) = A0 A0
¹ 证明 h 1、 h2 , , hn 和 y 都存在 因为 f、 A0、 A1 , , An 都在 ( a, b) 可导 , A0 X 0 , 所以 - A0 h c n + (Ac 0- A n - 1 A0 ) hn + (A0 f c- A c 0 f ) = 0 是关于 hn 的一阶线性常微分方程 , 其通解为:
( ( , ( e dx) , ) dx )dx + cn- 1
x x + cn- 2 + , + c2 x + c1 ( n - 2)! ( n - 3 )! ( 7)
( Q (, Q (e Q g (x ) e Q
n- 1个
dx )dx , )dx) dx
y= =
f - h n - An- 1 h n- 1 - An- 2 hn- 2 - , - A1 h 1 A0 1 {- A1 c1 - [A2 + A1x ] c2 A0
2
A0 ( f - hn - An - 1 hn- 1 , A1 h1 ) c- A c 0 (f - h n - An - 1 hn - 1 , A1 h 1 ) f - hn - An- 1 hn - 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1 h 1 c= y c A0
从而满足引理条件, 所以 y 是方程的解。 » 证明 y 是方程的通解 由公式 ( 3 ) ~ ( 8 )求导得 : A1 9y A2 + A1x 9y 9y =- , =, , , = 9c1 A0 9c2 A0 9cn- 1
于是 h 1、 h 2 , , h n 和 y 都存在。 º 证明 y 是方程的解 由条件组 1+ Ak A1 Ak+ 1 2 c= 0 , + c= 0 , k= 1 , 2 , , , n - 2 得: A0 + A0A1c- Ac 0A1 = 0 A0 A0 A0
n- 2
且 AkA0 + A0Ac , k= 1 , 2 , , , n- 2 。 k+ 1 - A c 0A k+ 1 = 0 所以 (A0 + A0Ac 1 - Ac 0A1 ) h1 +
[ 1] ( n - 1)
2010 年
第 1期
, , , , , , , ,
9y 9cn 9y c 9cn , 9y 9cn
( n - 1)
= ( - 1)
m
e X 0 其中 m 是正整数, A0
t( x)
所以 y 中含有 n 个独立的任意实数 由于初始条件 y0 = y
(k) ( k)
, 从而 y 是方程的通解。
李世云 : 一类 n 阶变系数线性常微分方程的通解 hn ( x) = eQ
Ac 0- A n- 1A 0 dx A0
Q
Ac 0- A n- 1A 0 A0 f c - A c t( x) t( x) - t( x) 0 f dx g(x)e dx e Q A0 dx + cn = cn e + e A0
Q
( 3) ( 4) ( 5) dx) dx )dx
n- 3
即存在可导函数 hn = hn ( x), 使得 - A0 h c 。 n + (Ac 0 - A n - 1A0 ) hn + (A0 f c- A c 0 f) = 0 令 hn- 1 ( x) = hn- 2 (x ) = h (x )dx + c Q h ( x) dx + c Q
(n)
(x0 ) = z0
中 , 再由 z 的任意性, 可知 y 包含了方程的所有解。 综合 ¹ ~ ¼ 知, 定理得证。 例 题 求方程 y
( 4)
- 4( x + 1 ) y Ê+ 12 ( x + 1 ) yd- 24 ( x + 1 ) yc+ 24y = (x + 1) 的通解。
- t( x)
( 6)
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , h1 ( x) = +
Q
t( x)
h 2 ( x) dx + c1 = cn
- t( x )
QQ Q
n- 1 个
第 23 卷
第 1期
文山学院学报 JOURNAL OF W ENSHAN UN I VERSITY
Vol1 23 N o 11 M ar1 2010
2010 年 3 月
一类 n阶变系数线性常微分方程的通解
李世云
(文山学院, 云南 文山 663000)
n
摘要: 论述了 n 阶变系数线性常微分方程
E
Ak ( x) y
n n- 1 n- 1
= cn e dx + cn- 1 +
t(x )
n- 2
= cn
[e Q g ( x) e dx] dx Q Q ( Q e dx) dx + c x + c + Q ( Q (e Q g ( x) e Q
t( x) t( x ) - t(x ) t(x ) n- 1 n- 2 t( x) n- 2
(n)
( x0 ), k = 1 , 2 , , , n 的特解。 x, , x ( n - 2 )! x ( n - 3 )! , , 0
n- 3 n- 2
Q Q dx ,
(, e
n- 1
t( x)
)dx
的系数矩阵满足 :
( n)
0 , 0
1, , , , 0, ,
Q Q dx ,
(, e
n- 2
( n- 1)
= , =
9y 9y 9y = 0 , = 1 , 9cn- 2 9cn- 1 9cn
( n- 1 )
=
e dx Q
t( x )
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第 23卷 9y 9c1 代入行列式计算得: 9y c 9c1 , 9y 9c1
( n - 1)
文山学院学报 9y 9c2 9 yc 9c2 , 9y 9c2
(k) (n) ( k)
= h k, k = 1 , 2 , , , n,
f - hn - An - 1 hn- 1 - An - 2 hn- 2 - , - A1 h 1 ( k) , 所以将全体 hk = y 代入 y 并移项得 A0
( n)
+ An- 1 y
( n - 1)
+ An - 2y
( n- 2)
n- 1个
An- 1 + An - 2 x + , + A1 A0
t( x)
x ( n - 2 )!
n- 2
9y =9cn 9y 9c1
( n- 1 )
e
t( x)
+ An- 1 e
Q
t( x )
dx + , + A1 ( ( , A0
( n- 1)
QQ Q dx ,
e
( n- 1)
)dx) dx
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 9y 9c2
( k)
= f ( x) 当满足条件: 1+
k= 0
A1 Ak Ak + 1 c= 0 , + c A0 A0 A0
=0 , k= 1 , 2, , , n - 2 时, 可用初等积分法求其通解, 并推出了求解公式。 关键词 : 通解; 初等积分法; n 阶变系数线性常微分方程 中图分类号 : O1751 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1674- 9200( 2010) 01- 0106- 04 虽然 n 阶线性常微分方程的通解就等于它的齐次方程的通解加上它本身的一个特解 , 但具体求齐次方程的 通解及非齐次方程的特解却是非常困难的, 特别是变系数的更是如此, 很多情况下连是否可积都不能判断。文献 [ 1- 7]介绍了一些可积的高阶方程及其解法, 其中主要是二阶的, 三阶以上的只有为数不多的几类。本文介绍另 外一类可积的 n 阶方程, 并且指出此类方程可直接用初等积分法求其通解, 而不需要考虑齐次方程的情况。 为了叙述方便, 记 n 阶变系数线性常微分方程为 :
收稿日期 : 2010- 01- 05
基金项目 : 云南省教育厅 科研基金项目 / 非线性演化方程的显式精确解及相关问题研究 0 ( 06Y041A) 作者简介 : 李世云 ( 1954- ) , 男 , 云 南文山人 , 教授 , 文山民族研究所兼职研究员 , 主要从事教育统计与微分方程研究。
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