几何概型和贝特朗悖论

结 出几何概型的转化应注意的若干问题．
贝 特 朗悖 论 ： 在 一 给 定 圆 内所 有 的 弦
当弦的 中点落在半径 缩小 了一半 的同心 圆 内， 其 长才合乎 要求 ． 中点位 置都是 等 可能的 ， 则所 求概率为 Ｉ． 此时假定 弦长
“
中任选 一条弦， 求该 弦的长度 长于圆的 内 接正三 角形边长 的概率．
称为几何概型 ．
正是 由于几何概 型的基 本事件 有无 假定端点在 圆周上均匀分布． 限 多个 ， 人们在 解题时总专注于对原始条
事件 ， 以期 简化 概 率 计 算 过 程 ． 不可否认 ，
（ ２ ） 由于对称性 ， 可预 先指定弦 的方
作垂直 于此 方 向的直径 ， 只有交直 径 件进行等价转化 ， 意在建构较简单 的基本 向． 有些正确 的转化必然达到“ 事半功倍 ” 的效 果： 然而 ， 有些看似 “ 等价 ” 的转化 ， 最终却 得到 了不同的答案 ，使人们产生困惑． 通
业
解， 不刻意追 求巧解或 解题技巧 ， 只要 基 础 扎实 了 ， 自然能 内化 为技巧 ， 到 时就 会 水到渠成 。
四、 好 习惯 比好 方 法 重 要
力； 要 养成 良好 的审题 习惯 ， 提 高阅读 能 保持 良好的做题感觉 。 很 多同学看到一段
力ｉ 要养成 良好的演算 、 验算 习惯 ， 提 高运 激励的文字 ， 听到一些激励 的语言总能勤
方向是等可 能的 ， 则 所 求 概 率 为 ． 此 时
、 ）
及弦 的中点在半径 上均匀分布 ； ３ ． ， Ｊ ＞、 ／ ， 如 果（ ， ｙ） 在 半径 为 解法三假定弦的中点在圆内均匀分布． 这三种解 法针对三种 不 同的随机实 验， 对于各 自的随机实验它们都是正确的． 我们再举两个 类似 的例子． 例 △ Ａｃ 是一个等腰直角三 角形 ． 过顶 点 ｃ ， 在 直角 ＡＣ 曰的内部任意 引射
过 对 贝 特 朗 问题 的解 法 进 行 深 入 剖 析 ， 总
于 ｝ 点 与 手 点 间 的 弦 ， 其 长 才 大 于 内 接
正三角形边长．所有交 点是等可能 的， 则 所求概率 为 ／． 此时假定弦的 中心在直径
［
上 均 匀分 布 ． （ ３ ） 弦被 其 中点位置 唯一确 定 ． 只 有
但坚持一学期一年 算能 力 ： 要养成 良好 的解 题习惯 ， 提高 思 奋一两天或～段 时间。 维能 力 ： 要养成 归纳总结 的 习惯 ， 提高概 却很 困难 ， 其实我们不一定每天要熬夜到 括能 力 ： 要养成 纠错订正 的 习惯 ， 提高 自 多晚 ，而是要每 天都保持 良好的学 习状
●河北省临城中学 李瑞珂
关键词 ： 几何概 型 贝特 朗悖论
称 性 在概率论发展的早期 ， 人 们 就 已 经 注 意 到 只 考 虑 那 种 仅 有 有 限 个 可 能 结 果 的
对 生的概率为 ；
ｊ
不 同的结果 ， 其实 ， 这些结果都是对 的． 因
为它们采 用了不同的等可能性假定 ： 解法一假定端点在 圆上均匀分布 ；
线Ｃ Ｐ交 斜 边 Ａ 曰于 点 Ｐ，求 Ａ Ｐ＜ Ａ Ｃ 的 概率 ．
可能 落在方格 中的任 何一 点……这些 试 验可能 出现的结果都是无限多个 ．
如 果每个事 件发 生的概 率只与构 成 该事件 区域 的长度（ 面积或体积 ） 成 比例 ， 则称这样的概率模型为几何概率模型 ， 简
还 好 习惯一旦形成 ， 自然就能转化为好的学 有恒心才是最重要的 ，不 只要 有热 情 ，
五、 持之以恒比一曝十寒重要 高中数学 的学 习就要坚持每 天做题 ，
要 多质疑 、 勤思考 、 好 动手、 重归纳 、 善应 用。要养成 良好的预 习习惯 ， 提高 自学能
几何概型和 贝ห้องสมุดไป่ตู้ 朗悖论
学生学习数学存在许 多不 良习惯 ， 例 老师 的心 理 ， 做作业不 讲究效率 ， 心 思不 集 中， 学 习效率不高等。 建立 良好的学习数学习惯 ， 会使 自己 学 习感到有序而轻松。在学习数学过程中
提 态 ， 勤奋 学 习， 日积月 累， 就一 定能成功 。 如遇到问题不能独 立思考 ， 养成一种依赖 我评判能力 ；要养成善于交流 的习惯 ，
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高表 达能力 ：要养成独立思考的 习惯 ， 提 许 多事情我们不可能一蹴而就。 同学们肯 高分析问题、 解决 问题的能 力。 日积月累，
习方 法。
定有这样的体验 ，学 习不 纯粹在于 方法 ， 要有一颗坚定不移的心 ， 持之以恒地坚持 下去 ， 每天进步一 点点 ， 这样才能 实现 自 己的梦想。
取 单位 圆 ０， ０ 的 内接 正 三 角 形 的 边
长等于、 ／ ３ ，取 ０的任 一 弦 长 Ａ 曰， 记 被其 中心唯一确定．
“ ＞ 、 ／ 丁” 的事件为 Ａ ．
１ ． ＞、 ／ 丁 ， 如果 Ｉ Ｙ＜ ＂ ＜． ， 其发
这导致同一事件有不同概率 ， 因此 为 悖论 ． 三个 看似都有 道理 的解法 却得 到 了
解 法 二 假 定 半 径 在 圆 内 均 匀 分 布 以
２ ． Ｌ＞、 ／ 了 ，如果 ｒ ＜ ／ ，其 发生的
概 率 为 ｉ．
随机试验是不够的 ， 还必须考 虑有无限多 个试验结果 的情 况． 例如一个人 到单位 的 时 间可能 是 ８ ： Ｏ ０至 ９ ： ０ ０之 间的任何 一 个 时刻 ； 往一个方格 中投一 个石子 ， 石子 的圆内， 其发生的概率为 １ ． 悖论分析 （ １） 由于对称性 ， 可预 先 固定弦 的～ 端．仅 当弦与 过此端 点的切 线 的交角在 ６ Ｏ 。 ～１ ２ ０ ｏ之 间， 其 长才合 乎要求． 所有