第3章 图像处理中的正交变换
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fe(t)为实偶函数。
fo(t)为实奇函数。
（ｉ）实偶函数
可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。
（ii）实奇函数
可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。
结论：
由(i)，(ii)可知，傅里叶变换不改变函数的奇偶 性，但对虚实性有影响，也就是说，偶函数的傅里 叶变换不引入系数，虚实性保持不变；而奇函数的 傅里叶变换将引入系数-j，从而改变虚实性，即“奇 变偶不变” 。
偶数区
奇数区
F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111
输入数据 2点变换 4点变换
8点变换
注意：输入数据的排列顺序采用“位对换”原则。
“位对换原则”：
F(0)中，0的二进制数为000，则它的左位与右位 对调后为000，即f(0)。 F(1)中，1的二进制数为001，则它的左位与右位 对调后为100，即f(4)。 F(2)中，2的二进制数为010，则它的左位与右位 对调后为010，即f(2)。 F(3)中，3的二进制数为011，则它的左位与右位 对调后为110，即f(6)。
8．旋转性质
勇于开始，才能找到成 功的路
二维离散傅立叶变换的旋转性
原图像
原图像的傅立叶频谱
旋转后的图像
旋转后图像的傅立叶频谱
９．平均值
勇于开始，才能找到成 功的路
３.1.4 快速傅里叶变换（FFT）
逐次加速法的快速傅里叶变换算法：
勇于开始，才能找到成 功的路
上式表明： 一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算， 用式（1）、（2）计算2个（N/2）点的变换得到Feven(u) 和Fodd(v),在将它们代入（3）、（4），得到F(u)。
（iii）实函数
勇于开始，才能找到成 功的路
具有偶的实部和奇的虚部 （称为Hermite函数）
（Hermite）函数具有共轭对称性：
Fe(s)为偶函数； Fo(s)为奇函数。
傅里叶变换和反变换均具有周期性
2.加法定理
设两个傅里叶变换对：
勇于开始，才能找到成 功的路
3.位移定理
描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。
1.傅里叶变换的定义：
注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。 几个术语：傅里叶幅度谱、相位谱、能量谱
二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱 二维傅里叶变换对：
二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱 分别为：
例：高斯函数的傅里叶变换
高斯函数的傅里叶变换 仍然是高斯变换。
2.离散傅里叶变换（DFT）
一维离散傅里叶变换对定义：
离散傅里叶变换（DFT）
勇于开始，才能找到成 功的路
离散傅里叶反变换（IDFT）
3.二维离散傅里叶变换
二维傅里叶变换为：
勇于开始，才能找到成 功的路
在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N
二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
a.原始图像 b.离散傅立叶频谱
3.1.2傅里叶变换的性质 1.共轭对称性和周期性
3.5 离散图像变换的一般表达式
图像变换的核：
勇于开始，才能找到成 功的路
３. 2离散余弦变换(DCT)
应用： 主要用于图像压缩编码、数字水印。 1.一维离散余弦变换及其反变换定义：
2.二维离散余弦及其反变换定义：
快速离散余弦变换： 1）先将f(x,y)进行快速傅里叶变换，再取其实部。 2）代数分解法
第3章 图像处理中的正 交变换
2020年4月22日星期三
➢傅里叶变换： ➢ 非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正 弦和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。这种 情况下的公式就是傅里叶变换。其重要特性之一就 是用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通 过傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。
➢傅里叶变换与频率域： ➢ 傅里叶变换是将函 数基于频率分成不同的 成分，使我们可以通过 频率成分来分析一个函 数。（傅里叶变换被比 作“数学的棱镜”）
结论：函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值）， 但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其结果 是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。
4.相似性定理（尺度变换）
描述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。
勇于开始，才能找到成 功的路
傅立叶变换的比例性实例
a)比例尺度展宽前的频谱 b) 比例尺度展宽后的频谱
1.沃尔什（DWT）变换： （1）一维（1-D）离散沃尔什变换对：
勇于开始，才能找到成 功的路
（2）二维（2-D）离散沃尔什变换对：
3.正交变换应用：
图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码 和形状分析等。
4.常用图像变换算法：
二维傅里叶变换（重点）、沃尔什——哈达玛变换 、离散余弦变换、小波变换等。
3.1.1函数的傅里叶变换
傅里叶变换是把图像从空间域转换到频率域， 即将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单 的乘积运算。 应用：在频率域中可以有效的实现图像增强、特征 提取、 图像恢复、纹理分析与水印嵌入等。
二维图像及其离散余弦变换频谱的显示
a) 原始图像
b) 离散余弦变换后的频谱
3.DCT变换特点：
与DFT不同的是，DCT是实值的，它广泛应用于 数字信号处理，特别是语言和图像的数据压缩。 实例：离散余弦变换在图像压缩中的应用
a) 未经压缩的原始图像 b) 采用JPEG方式压缩存储的图像
３.3沃尔什—哈达玛变换（Walsh-Hadamard）
3.1引言 1.图像变换的目的：
（1）使图像处理问题简化； （2）有利于图像特征提取； （3）有助于从概念上增强对图像信息的理解。
2.图像变换特点：
二维正交变换； 正交变换必须是可逆的； 正交变换和反变换的算法不能太复杂。
正交变换的图像特Байду номын сангаас： 在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分
上，边缘和线信息反映在高频率成分上。
５．相关定理（卷积定理）
傅里叶变换的优势：在一个域中的卷积计算可以在 另一个域中做乘法计算，效果相同。
上式称为帕斯维尔（Parseval）等式，它表明：
变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保 持定理。
7.二维傅里叶变换的分离性
设二维傅里叶变换对为：
由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。
fo(t)为实奇函数。
（ｉ）实偶函数
可见，实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数。
（ii）实奇函数
可见，实奇函数的傅里叶变换是虚奇的。
结论：
由(i)，(ii)可知，傅里叶变换不改变函数的奇偶 性，但对虚实性有影响，也就是说，偶函数的傅里 叶变换不引入系数，虚实性保持不变；而奇函数的 傅里叶变换将引入系数-j，从而改变虚实性，即“奇 变偶不变” 。
偶数区
奇数区
F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111
输入数据 2点变换 4点变换
8点变换
注意：输入数据的排列顺序采用“位对换”原则。
“位对换原则”：
F(0)中，0的二进制数为000，则它的左位与右位 对调后为000，即f(0)。 F(1)中，1的二进制数为001，则它的左位与右位 对调后为100，即f(4)。 F(2)中，2的二进制数为010，则它的左位与右位 对调后为010，即f(2)。 F(3)中，3的二进制数为011，则它的左位与右位 对调后为110，即f(6)。
8．旋转性质
勇于开始，才能找到成 功的路
二维离散傅立叶变换的旋转性
原图像
原图像的傅立叶频谱
旋转后的图像
旋转后图像的傅立叶频谱
９．平均值
勇于开始，才能找到成 功的路
３.1.4 快速傅里叶变换（FFT）
逐次加速法的快速傅里叶变换算法：
勇于开始，才能找到成 功的路
上式表明： 一个N点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算， 用式（1）、（2）计算2个（N/2）点的变换得到Feven(u) 和Fodd(v),在将它们代入（3）、（4），得到F(u)。
（iii）实函数
勇于开始，才能找到成 功的路
具有偶的实部和奇的虚部 （称为Hermite函数）
（Hermite）函数具有共轭对称性：
Fe(s)为偶函数； Fo(s)为奇函数。
傅里叶变换和反变换均具有周期性
2.加法定理
设两个傅里叶变换对：
勇于开始，才能找到成 功的路
3.位移定理
描述坐标平移（原点移动）对变换的影响。
1.傅里叶变换的定义：
注意：正反傅里叶变换的唯一区别是幂的符号不同。 几个术语：傅里叶幅度谱、相位谱、能量谱
二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱 二维傅里叶变换对：
二维傅里叶变换的傅里叶幅度谱、相位谱和能量谱 分别为：
例：高斯函数的傅里叶变换
高斯函数的傅里叶变换 仍然是高斯变换。
2.离散傅里叶变换（DFT）
一维离散傅里叶变换对定义：
离散傅里叶变换（DFT）
勇于开始，才能找到成 功的路
离散傅里叶反变换（IDFT）
3.二维离散傅里叶变换
二维傅里叶变换为：
勇于开始，才能找到成 功的路
在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N
二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
a.原始图像 b.离散傅立叶频谱
3.1.2傅里叶变换的性质 1.共轭对称性和周期性
3.5 离散图像变换的一般表达式
图像变换的核：
勇于开始，才能找到成 功的路
３. 2离散余弦变换(DCT)
应用： 主要用于图像压缩编码、数字水印。 1.一维离散余弦变换及其反变换定义：
2.二维离散余弦及其反变换定义：
快速离散余弦变换： 1）先将f(x,y)进行快速傅里叶变换，再取其实部。 2）代数分解法
第3章 图像处理中的正 交变换
2020年4月22日星期三
➢傅里叶变换： ➢ 非周期的函数（曲线有限情况下）也可以用正 弦和（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。这种 情况下的公式就是傅里叶变换。其重要特性之一就 是用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通 过傅里叶反变换来重建，不丢失任何信息。
➢傅里叶变换与频率域： ➢ 傅里叶变换是将函 数基于频率分成不同的 成分，使我们可以通过 频率成分来分析一个函 数。（傅里叶变换被比 作“数学的棱镜”）
结论：函数位移不会改变其傅立叶变换的模（幅值）， 但是会改变实部与虚部之间的能量分布，其结果 是产生一个与角频率和位移量均成正比的相移。
4.相似性定理（尺度变换）
描述函数自变量的尺度变化对其傅里叶变换的影响。
勇于开始，才能找到成 功的路
傅立叶变换的比例性实例
a)比例尺度展宽前的频谱 b) 比例尺度展宽后的频谱
1.沃尔什（DWT）变换： （1）一维（1-D）离散沃尔什变换对：
勇于开始，才能找到成 功的路
（2）二维（2-D）离散沃尔什变换对：
3.正交变换应用：
图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码 和形状分析等。
4.常用图像变换算法：
二维傅里叶变换（重点）、沃尔什——哈达玛变换 、离散余弦变换、小波变换等。
3.1.1函数的傅里叶变换
傅里叶变换是把图像从空间域转换到频率域， 即将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单 的乘积运算。 应用：在频率域中可以有效的实现图像增强、特征 提取、 图像恢复、纹理分析与水印嵌入等。
二维图像及其离散余弦变换频谱的显示
a) 原始图像
b) 离散余弦变换后的频谱
3.DCT变换特点：
与DFT不同的是，DCT是实值的，它广泛应用于 数字信号处理，特别是语言和图像的数据压缩。 实例：离散余弦变换在图像压缩中的应用
a) 未经压缩的原始图像 b) 采用JPEG方式压缩存储的图像
３.3沃尔什—哈达玛变换（Walsh-Hadamard）
3.1引言 1.图像变换的目的：
（1）使图像处理问题简化； （2）有利于图像特征提取； （3）有助于从概念上增强对图像信息的理解。
2.图像变换特点：
二维正交变换； 正交变换必须是可逆的； 正交变换和反变换的算法不能太复杂。
正交变换的图像特Байду номын сангаас： 在变换域中，图像能量集中分布在低频率成分
上，边缘和线信息反映在高频率成分上。
５．相关定理（卷积定理）
傅里叶变换的优势：在一个域中的卷积计算可以在 另一个域中做乘法计算，效果相同。
上式称为帕斯维尔（Parseval）等式，它表明：
变换函数与原函数具有相同的能量。也称能量保 持定理。
7.二维傅里叶变换的分离性
设二维傅里叶变换对为：
由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。