次型及其应用

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学 生 毕 业 论 文

课题名称 二次型及其应用

姓 名 兰海峰 学 号 1209401-23 学 院 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师

陈暑波 副教授

2016 年 3月 15日

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2016届学生 毕业论文材料

（四）

湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明

本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业设计（论文）作者签名：

二○一六年六月日

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

1.二次型基本理论 (2)

二次型的矩阵表示 (2)

矩阵的合同关系 (2)

二次型的标准型、规范型及其性质 (3)

正定二次型及其性质 (3)

2.二次型的实例应用 (5)

二次型在初等数学中的应用 (5)

二次型与因式分解 (5)

二次型与不等式的证明 (7)

二次型在曲线上的应用 (7)

求解多元二次函数最值 (9)

二次型与条件极值 (12)

二次型在高等数学中的应用 (13)

二次型在曲面上的应用 (13)

二次型在最小二乘法上的应用 (14)

参考文献 (17)

致谢 (17)

附录 (18)

二次型及其应用

摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。

关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分

Quadratic?Form and Its Applications

Abstract：Quadratic form is an important content in algebra, it connects quadratic function with the matrix intuitively, and make the process to research the properties of the quadratic functions easier by using matrix. However, in the undergraduate studies, learning requirements for quadratic form is not many. Thus, this project researches all the properties of quadratic form in order to solve the questions about factorization, the proof of inequality, the extremum of the binary and multivariate quadratic function and a part of curve and curved surface integral. Expand the quadratic form using scope of elementary mathematics and higher mathematics, and make undergraduates understand and use quadratic form thoroughly at the same time.

Key Words：Quadratic Form；Positive Definite Matrix；Orthogonal Transformation；Multivariate Quadratic Function；Curved Surface Integral

1 二次型基本理论

二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系——二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定(半正定)二次型关于矩阵特征值等等。在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。

二次型的矩阵表示

二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。 根据二次型的定义，将其表示为

∑∑===n

i n

j j i ij n x x a x x x f 1121),,,( （）

把等式右边的系数转化为矩阵，即⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A

2

122221

11211。 所以二次型（）的矩阵表示为

AX X x x x f n '=),,,(21

其中A 是表示其系数的对称矩阵，()n x x x X ,,,21 ='。

二次型与矩阵的合同关系

定义[1] 设数域P 上n n ⨯的矩阵A 和B ，如果有同数域上的可逆的n n ⨯矩阵C ，使得AC C B '=，则称A 和B 是合同的，即A 与B 是合同关系。